Методы минимизации функций. Схемотехника

Существует два направления минимизации:

• Ш Кратчайшая форма записи (цель - минимизировать ранг каждого терма);
• Ш Получение минимальной формы записи (цель - получение минимального числа символов для записи всей функции сразу).
• 1. Метод эквивалентных преобразований

В основе метода минимизации булевых функций эквивалентными преобразованиями лежит последовательное использование законов булевой алгебры. Метод эквивалентных преобразований целесообразно использовать лишь для простых функций и для количества логических переменных не более 4-х. При большем числе переменных и сложной функции вероятность ошибок при преобразовании возрастает.

2. Метод Квайна.

При минимизации по методу Квайна предполагается, что минимизируемая логическая функция задана в виде СДНФ. Здесь используется закон неполного склеивания. Минимизация проводится в два этапа: нахождение простых импликант, расстановка меток и определение существенных импликант.

Непомеченные термы называются первичными импликантами. Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным, поэтому исследуется возможность дальнейшего упрощения.

Для этого:

• Ш Составляются таблицы, в строках которых пишутся найденные первичные импликанты, а в столбцах указываются термы первичной ФАЛ.
• Ш Клетки этой таблицы отмечаются в том случае, если первичная импликанта входит в состав какого-нибудь первичного терма.
• Ш Задача упрощения сводится к нахождению такого минимального количества импликант, которые покрывают все столбцы.

Алгоритм метода Квайна (шаги):

• 1. Нахождение первичных импликант (исходные термы из ДНФ записывают в столбик и склеиваю сверху вниз, непомеченные импликанты переходят в функции на этом шаге).
• 2. Расстановка меток избыточности (составляется таблица, в которой строки - первичные импликанты, столбцы - исходные термы, если некоторый min-терм содержит первичный импликант, то на пересечении строки и столбца ставим метку).
• 3. Нахождение существенных импликант (если в каком-либо столбце есть только одна метка, то первичный импликант соответствующей строки является существенным).
• 4. Строка, содержащая существенный импликант и соответствующие столбцы вычеркиваются (если в результате вычеркивания столбцов появятся строки первичных импликант, которые не содержат метки или содержат одинаковые метки в строках, то такие первичные импликанты вычеркиваются, а в последнем случае оставляется одна меньшего ранга).
• 5. Выбор минимального покрытия (из таблицы, полученной на шаге 3 выбирают такую совокупность первичных импликант, которая включает метки во всех столбцах по крайней мере по одной метке в каждом, при нескольких возможных вариантах отдается предпочтение покрытию с минимальным суммарным числом элементов в импликантах, образующих покрытие).
• 6. Результат записывается в виде функции.

Пусть задана функция:

Для удобства изложения пометим каждую конституенту единицы из СДНФ функции F каким-либо десятичным номером (произвольно). Выполняем склеивания. Конституента 1 склеивается только с конституентой 2 (по переменной х3) и с конституентой 3 (по переменной х2) конституента 2 с конституентой 4 и т. д. В результате получаем:

Заметим, что результатом склеивания является всегда элементарное произведение, представляющее собой общую часть склеиваемых конституент.

с появлением одного и того же элементарного произведения. Дальнейшие склеивания невозможны. Произведя поглощения (из полученной ДНФ вычеркиваем все поглощаемые элементарные произведения), получим сокращенную ДНФ:

Переходим к следующему этапу. Для получения минимальной ДНФ необходимо убрать из сокращенной ДНФ все лишние простые импликанты. Это делается с помощью специальной импликантной матрицы Квайна. Строки такой матрицы отмечаются простыми импликантами булевой функции, т. е. членами сокращенной ДНФ, а столбцы -- конституентами единицы, т. е. членами СДНФ булевой функции.

Импликантная матрица имеет вид см. табл. 1.1

Таблица 1.1 Импликантная матрица

Как уже отмечалось, простая импликанта поглощает некоторую конституенту единицы, если является ее собственной частью. Соответствующая клетка импликантной матрицы на пересечении строки (с рассматриваемой простой импликантой) и столбца (с конституентой единицы) отмечается крестиком (табл. 1.). Минимальные ДНФ строятся по импликантной матрице следующим образом:

• 1. ищутся столбцы импликантной матрицы, имеющие только один крестик. Соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро булевой функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ.
• 2. рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы импликантной матрицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв в такой совокупности импликант.

Следовательно функция имеет вид:

3. Метод Квайна-Мак-Класки.

Метод представляет собой формализованный на этапе нахождения простых импликант метод Квайна. Формализация производится следующим образом:

• 1. Все конституенты единицы из СДНФ булевой функции F записываются их двоичными номерами.
• 2. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы. Признак образования і-й группы: і единиц в каждом двоичном номере конституенты единицы.
• 3. Склеивание производят только между номерами соседних групп. Склеиваемые номера отмечаются каким-либо знаком (зачеркиванием, звездочкой и т.д.).
• 4. Склеивания производят всевозможные, как и в методе Квайна. Неотмеченные после склеивания номера являются простыми импликантами.

Образуем группы двоичных номеров. Признаком образования і-й группы является і единиц в двоичном номере конституенты единицы (табл.1.2).

Таблица 1.2 Группы двоичных номеров

Склеим номера из соседних групп табл. 1.3 Склеиваться могут только номера, имеющие прочерки в одинаковых позициях. Склеиваемые номера отметим. Результаты склеивания занесем в табл. 1.4.

Таблица 1.4 Результаты склеивания 2

По табл. 5. определяем совокупность простых импликант - 0--1 и 111-, соответствующую минимальной ДНФ. Для восстановления буквенного вида простой импликанты достаточно выписать произведения тех переменных, которые соответствуют сохранившимся двоичным цифрам:

Разбиение конституент на группы позволяет уменьшить число попарных сравнений при склеивании.

4. Метод диаграмм Вейча.

Метод позволяет быстро получать минимальные ДНФ булевой функции f небольшого числа переменных. В основе метода лежит задание булевых функций диаграммами некоторого специального вида, получившими название диаграмм Вейча. Для булевой функции двух переменных диаграмма Вейча имеет вид (Рис 1).

Рис.1.

Каждая клетка диаграммы соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. На (Рис 1) это соответствие показано, в клетке диаграммы Вейча ставится единица, если булева функция принимает единичное значение на соответствующем наборе. Нулевые значения булевой функции в диаграмме Вейча не ставятся. Для булевой функции трех переменных диаграмма Вейча имеет следующий вид (Рис 2).

Рис.2.

Добавление к ней еще такой же таблицы дает диаграмму для функции 4-х переменных (Рис 3).

Рис.3.

Таким же образом, т. е. приписыванием еще одной диаграммы 3-х переменных к только что рассмотренной, можно получить диаграмму для функции 5-ти переменных и т. д., однако диаграммы для функций с числом переменных больше 4-х используются редко.

5. Карты Карно.

Метод карт Карно - это один из графических методов минимизации функции. Эти методы основаны на использовании особенности зрительного восприятия, так как с его помощью можно практически мгновенно распознать те или иные простые конфигурации.

Построим таблицу метода карт Карно (табл. 1.6).

Таблица 1.6 Карты Карно

Теперь подсчитаем совокупность всех крестиков с метками минимальным количеством крестиков. Таких крестиков в нашем случае будет 5: три четырехклеточных и два двухклеточных. Этим крестикам соответствуют следующие простые импликанты:

для первого - X 3 X 4 ;

для второго - X 1 X 3 ;

для третьего - X 2 X 3 ;

для четвертого - X 1 X 2 X 4 ;

для пятого - X 1 X 2 X 4 ;

Минимальная ДНФ будет выглядеть так:

6. Метод неопределенных коэффициентов.

Этот метод может быть использован для любого числа аргументов. Но так как этот метод достаточно громоздок, то применяется только в тех случаях, когда число аргументов не более 5-6.

В методе неопределенных коэффициентов используются законы универсального и нулевого множеств и законы повторения. В начале все коэффициенты неопределенны (отсюда и название метода).

Построим матрицу неопределенных коэффициентов для четырех аргументов. В этом случае мы будем иметь систему из 16-ти уравнений.

Приравняем все коэффициенты 0 в тех строках, которым соответствует 0 в векторе столбце. Затем приравняем 0 соответствующие коэффициенты в других строках. После этих преобразований система примет следующий вид (Рис 4):

Рис.4.

Теперь в каждой строке необходимо выбрать коэффициент минимального ранга и приравнять его единице, а остальные коэффициенты - 0. После этого вычеркиваем одинаковые строки, оставляя при этом одну из них (те строки, у которых все коэффициенты равны 0, также вычеркиваются).

Запишем теперь конъюнкции, соответствующие коэффициентам, равным единицам. Мы получим минимальную ДНФ.

Студент должен:

Знать:

· Методы минимизации логических функций.

Уметь:

· Выполнять минимизацию функций методом непосредственных преобразований; Выполнять минимизацию функций методом непосредственных преобразований;

· Выполнять минимизацию функций с помощью карт Карно.

Метод непосредственных преобразований

Логическая функция, задающая принцип построения схемы цифрового устройства, может быть, как было показано выше, представлена в виде таблицы истинности или в виде СДНФ или СКНФ и может быть использована для получения логической схемы устройства. Однако полученная логическая схема, как правило, не будет оптимальна. Поэтому важным этапом синтеза логических схем является минимизация логических функций.

Минимизация (упрощение формы записи) функции является важной операцией при синтезе логической схемы, так как благодаря предварительно проведенной минимизацией схема реализуется с наименьшим числом элементов.

Для минимизации разработан ряд методов. Одним из простых методов минимизации является метод непосредственных преобразований, который осуществляется с использованием основных теорем алгебры логики.

Например, логическую функцию

в виде СДНФ, можно минимизировать следующим образом:

1. Добавим к данной функции слагаемое , которое уже есть в данной функции, используя правило х+х=х

2. Применим метод склеивания одинаково подчеркнутых элементарных конъюнкций

3. Применим метод склеивания для двух последних элементарных конъюнкций

Полученная в результате минимизации логическая функция называется тупиковой. Логическая функция может иметь несколько тупиковых форм.

Выявление и устранить избыточности в записи функции путем её преобразований с использованием аксиом, законов, тождеств и теорем алгебры логики требуют громоздких выкладок и связаны с большой затратой времени.

Карты Карно

Метод непосредственных преобразований наиболее пригоден для простых формул, когда последовательность преобразований очевидна для исполнителя. Наиболее часто этот метод применяется для окончательной минимизации выражений, полученных после минимизации их другими методами.

Стремление к алгоритмизации поиска соседних элементарных произведений привело к разработке табличных методов минимизации логических функций. Одним из них является метод, основанный на использовании карт Карно.

Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом Карно, физиком из «Bell Labs», и были призваны помочь упростить цифровые электронные схемы.

Карта Карно - это графическое представление таблицы истинности логических функций. Она представляет собой таблицу, содержащую по 2 n прямоугольных ячеек, где n - число логических переменных.

Например, карта Карно для функции четырех переменных имеет 2 4 = 16 ячеек.

Структура карты Карно для функций двух переменных показана на рисунке 2.2. 2

Рисунок 2.2

На рисунке 2.3 представлена структура карты Карно для функции трёх переменных.

а) таблица истинности; б) структура карты Карно

Рисунок 2.3

Карта размечается системой координат, соответствующих значениям входных переменных. Например, верхняя строка карты для функции трех переменных (рисунок 2.3) соответствует нулевому значению переменной x1, а нижняя - ее единичному значению.

Каждый столбец этой карты характеризуется значениями двух переменных: х2 и х3. Комбинация цифр, которыми отмечается каждый столбец, показывает, для каких значений переменных х2 и х3 вычисляется функция, размещаемая в клетках этого столбца.

Если на указанном наборе переменных функция равна единице, то ее СДНФ обязательно содержит элементарное произведение, принимающее на этом наборе единичное значение. Таким образом, ячейки карты Карно, представляющие функцию, содержат столько единиц, сколько элементарных произведений содержится в ее СДНФ, причем каждой единице соответствует одно из элементарных произведений.

Обратим внимание на то, что координаты строк и столбцов в карте Карно следуют не в естественном порядке возрастания двоичных кодов, а в порядке 00, 01, 11, 10. Изменение порядка следования наборов сделано для того, чтобы соседние наборы были соседними, т.е. отличались значением только одной переменной.

Ячейки, в которых функция принимает значения, равные единице, заполняются единицами. В остальные ячейки записываются нули.

Процесс минимизации рассмотрим на примере, представленном на рисунке 2.4.

а) таблица истинности; б) карта Карно

Рисунок 2.4

Сначала формируем прямоугольники, содержащие по 2k ячеек, где k - целое число.

В прямоугольники объединяются соседние ячейки, которые соответствуют соседним элементарным произведениям.

Например, на рисунке 2.4,б объединены ячейки с координатами 001 и 101. При объединении этих ячеек образовался прямоугольник, в котором переменная x1 изменяет свое значение. Следовательно, она исчезнет при склеивании соответствующих элементарных произведений и останутся только х2 и х3, причем переменную х2 берем в инверсном виде, т.к. она равна 0.

Ячейки, расположенные в первой строке (рисунок 2.4 б), содержат единицы и являются соседними. Поэтому все они объединяются в прямоугольник, содержащий 2 2 = 4 ячейки.

Переменные х2 и х3 в пределах прямоугольника меняют свое значение; следовательно, они исчезнут из результирующего элементарного произведения. Переменная х1 остается неизменной и равной нулю. Таким образом, элементарное произведение, полученное в результате объединения ячеек первой строки рисунка 2.4 б, содержит лишь один х1, который берем в инверсном виде, т.к. он равен 0.

Это, в частности, следует из того, что четырем ячейкам первой строки соответствует сумма четырех элементарных произведений:

Двум ячейкам сторого столбца соответствует сумма двух произведений

Функция, соответствующая рисунку 2.4 имеет вид:

Совокупность прямоугольников, покрывающих все единицы, называют покрытием. Заметим, что одна и та же ячейка (например, ячейка с координатами 001) может покрываться два или несколько раз.

Итак, можно сделать следующие выводы:

1. Формула, получающаяся в результате минимизации логической функции с помощью карт Карно, содержит сумму стольких элементарных произведений, сколько прямоугольников имеется в покрытии.

2. Чем больше ячеек в прямоугольнике, тем меньше переменных содержится в соответствующем ему элементарном произведении.

Например, для карты Карно, изображенной на рисунке 2.5 а, прямоугольнику, содержащему четыре ячейки, соответствует элементарное произведение двух переменных, а квадрату, состоящему всего лишь из одной ячейки,- элементарное произведение включающее все четыре переменные.

а) б) в)

Рисунок 2.5

Функция, соответствующая покрытию, показанному на рисунке 2.5 а, имеет вид:

Несмотря на то, что карты Карно изображаются на плоскости, соседство квадратов устанавливается на поверхности тора. Верхняя и нижняя границы карты Карно как бы «склеиваются», образуя поверхность цилиндра. При склеивании боковых границ получается тороидальная поверхность. Следуя изложенным рассуждениям, устанавливаем, что ячейки с координатами 1011 и 0011, изображенные на рисунке 2.5 б, являются соседними и объединяются в прямоугольник. Действительно, указанным ячейкам соответствует сумма элементарных произведений

Аналогично объединяются и остальные четыре единичные ячейки. В результате их объединения получаем элементарное произведение .

Окончательно функция, соответствующая покрытию, изображенному на рисунке 2.5 б, имеет вид

Карта Карно, показанная на рисунке 2.5 в, содержит единичные ячейки, расположенные по углам. Все четыре ячейки являются соседними, и после объединения дадут элементарное произведение

Рассмотренные выше примеры позволяют сформулировать последовательность проведения минимизации логических функций с помощью карт Карно:

1. Изображается таблица для n переменных и производится разметка ее сторон.

2. Ячейки таблицы, соответствующие наборам переменных, обращающих функцию в единицу, заполняются единицами, остальные ячейки - нулями.

3. Выбирается наилучшее покрытие таблицы правильными прямоугольниками, которые обводим контурами. В каждом прямоугольнике должно быть 2 n ячеек.

4. Одни и те же ячейки с единицами могут входить в разные контуры.

5. Количество прямоугольников должно быть минимальным, а площадь прямоугольников максимальная.

6. Для каждого прямоугольника записываем произведение только тех переменных, которые не изменяют своего значения. Если эта переменная равна нулю, то ее записывают в инверсном виде.

7. Полученные произведения соединяем знаком логического сложения.

Контрольные вопросы:

1. Что называют минтермами и минтермами?

2.Записать функции, заданные таблицами 2.9 и 2.10 в СДНФ и СКНФ.

Таблица 2.9

3. Упростите логические функции, используя аксиомы тождества и законы алгебры логики:

a)

c)

Логические элементы

Студент должен

Знать:

· Таблицы логических состояний для основных функциональных логических схем;

· Основные базисы построения логических схем.

Уметь:

· Определять логические состояния на выходах цифровых схем по известным состояниям на входах;

· Выполнять логическое проектирование в базисах микросхем;

· Выбирать микросхему по справочнику, исходя из заданных параметров и условий использования.

Принцип логического устройства базируется в ИМС на работе биполярных транзисторов в режиме ключа (либо замкнут, либо разомкнут).

Логическое действие осуществляется как с одной (одновходовый логический элемент) так и с множеством (многовходовый логический элемент) входных переменных.

При работе логических устройств используются три основных действия согласно алгебры Буля – «И», «ИЛИ», «НЕ».

Логическая функция может быть выражена словесно, в алгебраической форме, таблицей истинности, называемой переключательной таблицей, с помощью временных диаграмм. Рассмотрим все варианты представления логических функций.

Продолжительность: 2 часа (90 мин.)

14.1 Ключевые вопросы

14 Лекция №13. Минимизация логических функций 1

14.1 Ключевые вопросы 1

14.2 Текст лекции 1

14.2.1 Минимизация логических функций 1

14.2.1.1 Расчетный метод 1

14.2.1.2 Карты Карно 4

14.2.2 Минимизация систем логических уравнений 7

14.2.3 Минимизация частично определенных логических функций 8

14.2.4 Вопросы для контроля 10

14.2 Текст лекции

14.2.1 Минимизация логических функций

Существует достаточно много методов минимизации логических функций, приведем только два метода, которые чаще всего применяются в инженерной практике:

расчетный;

карт Карно.

14.2.1.1 Расчетный метод

Здесь применяют:

– склеивание,

– поглощение,

– развертывание.

Склеивание

а) Если в выражении встречается сумма двух конъюнкций, в одной из которых одна из переменных стоит в прямом значении, а в другой в инверсном значении, а остальные переменные одинаковые, то эту сумму конъюнкций, можно заменить одной конъюнкцией, не содержащей переменную, имеющую разные значения:

Конъюнкции, отличающиеся только значениями одной переменной (в одну из них переменная входит без отрицания, а в другую с отрицанием), называются соседними.

Замечание:
и дистрибутивном законе конъюнкции относительно дизъюнкции (см. Лекцию № 10)

.

б) Если в выражении встречается произведение двух дизъюнкций, в одной из которых одна из переменных стоит в прямом значении, а в другой в инверсном значении, а остальные переменные одинаковые, то это произведение дизъюнкций, можно заменить одной дизъюнкцией, не содержащей переменную, имеющую разные значения:

Дизъюнкции, отличающиеся только значениями одной переменной (в одну из них переменная входит без отрицания, а в другую с отрицанием), называются соседними.

Замечание: Это правило основано на законе дополнительности

и дистрибутивном законе дизъюнкции относительно конъюнкции (см. Лекцию № 10)

в) Правила обобщенного склеивания.

В первом случае исчезло произведение bc , во втором исчезает суммаbc , в третьем снова произведениеbc (третий случай после раскрытия скобок сводится к первому). Доказываются эти правила, как обычно, составлением и сравнением таблиц истинности для левой и правой части или с помощью развертывания (см. ниже).

Поглощение

а) Если в выражении встречается сумма двух произведений, одно из которых является частью другого, то эту сумму можно заменить меньшим произведением:

б) Если в выражении встречается произведение двух сумм, одна из которых является частью другой, то это произведение сумм можно заменить меньшей суммой:

a (ab ) = a ; a (ab )(ac )…= a ; (ab )(abc )= ab .

Развертывание

Развертывание позволяет восстановить в формулах «потерянные» (например, в результате минимизации) переменные или перейти от ДНФ и КНФ к совершенным формам – СДНФ и СКНФ. Восстановление переменных для ДНФ и КНФ производится по–разному. Рассмотрим примеры.

Пусть имеем ДНФ

в которой, очевидно, потеряна переменная y . Для восстановления переменнойy произведение переменныхxz умножается на 1, затем 1 заменяется суммой прямого и инверсного обозначений недостающей переменной, и на основе дистрибутивного закона проводится преобразование

Пусть имеем КНФ
, где также потеряна переменнаяy . Для ее восстановления к сумме
добавляется 0, затем 0 заменяется произведением недостающей переменной на ее инверсию и применяется дистрибутивный закон

Используя развертывание, можно раскрыть смысл понятий «конституента единицы» и «конституента нуля».

Пусть n = 2 (переменныеa иb ).

Развернем единицу 1.

1= 1=
=.

Получили СДНФ функции двух переменных f = 1, где каждая конъюнкция является составляющей (конституентой) единицы.

Развернем 0.

Получили СКНФ функции двух переменных f = 0, где каждая дизъюнкция является составляющей (конституентой) нуля.

Полезность развертывания показывает пример доказательства правил обобщенного склеивания (см. п. 4.1.1):

Рассмотрим первое правило

Развернем левую часть тождества, в первом произведении которой недостает переменной c , во втором произведении недостаетb , а в третьем нетa .

После приведения подобных членов, применив простое склеивание

получаем правую часть, следовательно, тождество доказано.

Рассмотрим второе правило

Развернем левую часть тождества.

Используя дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции, получаем

После приведения подобных членов, применив простое склеивание, будем иметь

Получили правую часть, следовательно, правило доказано.

Общий порядок проведения минимизации функции, заданной СДНФ, здесь следующий.

Сначала к членам СДНФ применяется операция склеивания (каждая конъюнкция может использоваться многократно , объединяясь с разными членами). При этом из них исключается по одной переменной. Затем приводятся подобные члены, и снова проводится склеивание. Этот процесс продолжается, пока в получаемом выражении не останется конъюнкций, отличающихся друг от друга значениями одной переменной. Полученное выражение называетсясокращенной нормальной формой . Каждой логической функции соответствует лишь одна такая форма.

К сокращенной нормальной форме применяется операция обобщенного склеивания. В результате из нее исключаются лишние конъюнкции. Процесс продолжается, пока склеивания становятся невозможными. Получаемая форма называется тупиковой формой логической функции. Тупиковых форм у логической функции может быть несколько.

Полученная тупиковая форма случайно может оказаться минимальной. В общем случае для поиска минимальной формы необходим перебор тупиковых форм.

С функциями, представленными в СКНФ, поступают аналогично с учетом их особенностей. Иногда оказывается удобно на промежуточном этапе перейти к дизъюнктивной нормальной форме и продолжать минимизацию так, как изложено выше.

Пример 1: Минимизировать функцию

После применения операции склеивания и приведения подобных членов получаем

Обобщенное склеивание здесь можно проводить по нескольким вариантам, которые дают следующие результаты:

.

Исключены
,
,
: (
), (
), (
).

В скобках показаны термы, участвующие в обобщенном склеивании.

Исключены
,
,
: (
), (
), (
).

Как видим, здесь имеется две минимальных нормальных формы. По сложности они одинаковы.

Пример 2: Продолжая решение задачи по созданию устройства рис. 3, проведем минимизацию мажоритарной функции (см. табл. 12), для которой выше были получены СДНФ и СКНФ.

Здесь первую сумму мы поочередно рассматривали в паре со второй, третьей и четвертой суммами и после склеивания этих пар получили результат.

Все логические функции задаются либо в виде формулы, либо в виде таблицы значений. Иногда бывает нужно определить простейшую форму записи этой функции с минимальным количеством элементарных логических функций И, ИЛИ, НЕ для удобства работы. Для этого используются все рассмотренные операции начиная с №4 и методы Квайна и Вейча.

Метод Квайна позволяет найти простейшую нормальную дизъюнктивную форму логического выражения, т.е. записать логическое выражение в виде дизъюнкции или конъюнкции, при этом знак инверсии может стоять только над одним аргументом или не стоять вообще. Алгоритм дается в специальной литературе.

Метод Вейча (карты Карно)

В этом методе для изображения функции n переменных рисуется специальная таблица, которая содержит 2 n клеток. В каждой клетке ставится соответствие одному из наборов n переменных. В клетке записывается значение, принимаемое функцией при этом наборе аргументов. Все клетки, соответствующие наборам содержащие некоторую переменную без знака инверсии образуют область из 2 n -1 клеток. Эта область называется областью данной переменной (например, область переменной х). Остальные клетки образуют область этой инверсной переменной. Возможные наборы аргументов распределены по клеткам таким образом, чтобы границы областей всех переменных и их инверсии были четки, а принадлежность любой клетки к той или иной область зрительно легко выявлялась.

1) Функция одной переменной:

2) Функция двух переменных:

3) Диаграмма для дизъюнкции:

4) Диаграмма для конъюнкции:

5) Для трех аргументов:

6) Для четырех аргументов:

Можно минимизировать заданное логическое выражение, объединив в группы стоящие рядом единицы и при этом исключать ту переменную, которая переходит из прямого в инверсное состояние. Объединять можно не только по вертикали и горизонтали, но и по краям, так как в общем случае карта Карно образует тор. Пример:

б)

для первого – X 3 X 4 ;

для второго – X 1 X 3 ;

для третьего – X 2 X 3 ;

для четвертого – X 1 X 2 X 4 ;

для пятого – X 1 X 2 X 4 ;

Минимальная ДНФ будет выглядеть так:

Сравнивая метод карт Карно с другими методами минимизации функции можно сделать вывод, что первый больше всего подходит для ручного исполнения. Время ручной работы значительно сокращается (за счет наглядного представления склеивающихся импликант). Программная реализация данного метода имеет свои сложности. Так, очень сложно будет реализовать оптимальный выбор правильных прямоугольников, особенно для большого числа аргументов.

1.3.5 Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод может быть использован для любого числа аргументов. Но так как этот метод достаточно громоздок, то применяется только в тех случаях, когда число аргументов не более 5-6.

В методе неопределенных коэффициентов используются законы универсального и нулевого множеств и законы повторения. В начале все коэффициенты неопределенны (отсюда и название метода).

Построим матрицу неопределенных коэффициентов для четырех аргументов. В этом случае мы будем иметь систему из 16-ти уравнений.

Система приведена на следующей странице.

Приравняем все коэффициенты 0 в тех строках, которым соответствует 0 в векторе столбце. Затем приравняем 0 соответствующие коэффициенты в других строках. После этих преобразований система примет следующий вид:

V = 1 VVVVVV = 1 VVV V VV = 1 V = 1 VVV = 1 VVVVVV = 1 VVV = 1 VVVVV = 1 VVV = 1

Теперь в каждой строке необходимо выбрать коэффициент минимального ранга и приравнять его единице, а остальные коэффициенты – 0. После этого вычеркиваем одинаковые строки, оставляя при этом одну из них (те строки, у которых все коэффициенты равны 0, также вычеркиваются).

= 1 = 1 = 1 = 1 = 1

Запишем теперь конъюнкции, соответствующие коэффициентам, равным единицам. Мы получим минимальную ДНФ.

F(X 1 X 2 X 3 X 4) = X 1 X 3 V X 2 X 3 V X 3 X 4 V X 1 X 2 X 4 V X 1 X 2 X 4 .

Итак, мы получили несколькими способами минимальную ДНФ, Во всех случаях она получилась одинаковой, то есть любой из описанных методов может быть использован для минимизации функции. Однако эти методы существенно отличаются друг от друга как по принципу нахождения МДНФ, так и по времени исполнения. Для ручных расчетов очень удобен метод карт Карно. Он нагляден, не требует рутинных операций, а выбрать оптимальное расположение правильных прямоугольников не составляет большого труда. В то время как машинная реализация данного метода осложняется необходимостью нахождения оптимального расположения прямоугольников. Естественно применение других методов (метод Квайна, метод Квайна-Маккласки, метод неопределенных коэффициентов) для ручных расчетов нецелесообразно. Они больше подойдут для машинной реализации, так как содержат большое число повторяющихся простых операций.

Задание 2.

2.1 Схема алгоритма для метода Квайна

1. Начало.

2. Ввести матрицу ДСНФ исходной функции.

3. Проверить на склеиваемость i-ю (i=1,m-1: где m – количество строк в ДСНФ) и j-ую (j=i+1, m) строки. Если строки склеиваются, то перейти к пункту 6, в противном случае перейти к пункту 5.

4. Формировать массив простых импликант, предварительно пометив символом ‘*’ ту переменную, по которой данные строки склеиваются.

5. Перейти к пункту 2.

6. Строку, которая не склеилась ни с одной другой строкой записать в конечный массив.

7. Перейти к пункту 2.

8. Вывод полученной матрицы.

Логическая схема алгоритма в нотации Ляпунова

V H V 1 Z 1 ­ V 2 ¯ V 3 V 4 V K

V H – начало.

V 1 – ввести матрицу ДСНФ исходной функции.

V 2 – формировать массив простых импликант, предварительно пометив символом ‘*’ ту переменную, по которой данные строки склеиваются.

V 3 – строку, которая не склеилась ни с одной другой строкой записать в конечный массив.

V 4 – вывод полученной матрицы.

Z 1 – если строки склеиваются, то перейти к пункту 3, в противном случае перейти к пункту 5.

V K – конец.

Граф-схема алгоритма.

Описание машинных процедур

Procedure Stuck(S1, S2: Diz; IndexS1, IndexS2: byte);

Данная процедура склеивает два, передаваемых ей дизъюнкта. Дизъюнкты задаются в параметрах S1, S2. Индексы IndexS1, IndexS2 определяют индексы этих дизъюнктов в главном рабочем массиве. Алгоритм работы процедуры следующий: сначала ищется количество склеивающихся символов. Если их 0, то они одинаковые, и в конечный массив записывается только один из них. Если 1, то определяется местоположение символа, по которому данные две дизъюнкции склеиваются, и заменяем этот символ на ‘*’. Все полученные результаты заносятся в массив REZ.

Все остальные функции и процедуры программы связаны с действиями над массивами, то есть не имеют непосредственного отношения к данному методу нахождения МДНФ. Поэтому нет смысла их описывать.

2.2 Схема алгоритма для метода Петрика

1. Начало.

2. Ввести матрицу ДСНФ исходной функции и простые импликанты, полученные в методе Квайна.

3. Составить таблицу меток.

4. По таблице меток построить конъюнкцию дизъюнкций, каждая из которых есть совокупность тех импликант, которые в данном столбце имеют метки.