Синтаксис Wolfram Alpha. Дифференциальные уравнения и их системы

Основные операции

• 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
• (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

Логические символы

Основные константы

Основные функции

модуль x: abs(x)

Решение уравнений

Чтобы получить решение уравнения вида достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve=0, x].

Примеры

• Solve+Cos+Sin=0,x] или Cos[x]+Cos+Sin=0;
• Solve или x^5+x^4+x+1=0;
• Solve-Log=0,x] или \Log-Log=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve=0, j], где — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos=0 или Solve=0,x] или Solve=0,y];
• x^2+y^2-5=0 или Solve или Solve;
• x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа , полностью аналогично решению уравнения . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve>0, x] или Solve>=0,x].

Примеры

• Cos-1/2>0 или Solve-1/2>0,x];
• x^2+5x+10>=0 или Solve.

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f>0 или f>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve>0,j] или Solve>=0,j], где — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos>0 или Solve>0,x] или Solve>0,y];
• x^2+y^3-5<0 или Solve или Solve;
• x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Примеры

• x^3+y^3==9&&x+y=1;
• x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
• Sin+Cos==Sqrt/4&&x+y²=1;
• Log=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot,{x, a, b}]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты был конкретным, например , нужно ввести: Plot,{x, a, b},{y, c, d}].

Примеры

• Plot;
• Plot;
• Plot^x, {x,-Pi,E}];
• Plot^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],{x, a, b}].

Примеры

• Plot;
• Plot&&Sin&&Sin&&Sin, {x,-5,5}].

Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике , нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot,{x, a, b},{y, c, d}]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Примеры

• Plot,{x,-1,-0.5},{y,-2,2}];
• Plot.

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit.

Примеры

• Limit;
• Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции при можно совершенно аналогично: Limit, x -> a].

Примеры

• Limit/x, x -> 0];
• Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные

Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке WolframAlpha: D, x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D, {x, n}]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: D, j], где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D, {j, n}], где означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

• D;
• D;
• D, x];
• D, y],
• D.

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл так же просто: Integrate, {x, a, b}] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

• Integrate/x², x];
• Integrate, x];
• Integrate[(x+Sin[x])/x, {x,1,100}];
• Integrate/x^5, {x,1,Infinity}].

Дифференциальные уравнения и их системы

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения нужно написать в строке WolframAlpha: F (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F, y[s]==A,y"[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: {f_1,f_2,…,f_n}, где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.

Примеры

• y"""+y""+y=Sin[x];
• y""+y"+y=ArcSin[x];
• y""+y+y^2=0;
• y""=y, y==0, y"=4;
• y+x*y"=x, y=2;
• y"""[x]+2y""[x]-3y"[x]+y=x, y=1, y=2, y"=2;
• {x"+y"=2, x"-2y"=4}.

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач. К примеру, если попытаться решить неравенство , для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4)<0, то Wolfram|Alpha выдаст в качестве ответа промежуток , в котором будет присутствовать точка 1, обращающая оба знаменателя исходного неравенства в 0. Так что весь риск и вся ответственность при использовании Wolfram|Alpha ложится на Вас. Скорее всего, данные недочеты будут скоро исправлены.

Сегодня официально представлена продвинутая версия научного поисковика Wolfram Alpha Pro . Это самый значительный апдейт за всё время существования поисковой системы. Хотя её и раньше трудно было назвать «поисковой системой», а сейчас это вообще нечто фундаментально иное.

Итак, на что способен Wolfram Alpha Pro за пять долларов в месяц?

Во-первых, чтобы воспользоваться «премиальными» возможностями, нужно зарегистрироваться и оплатить подписку ($4,99 в месяц, $2,99 для студентов), которая сейчас предоставляется бесплатно на 14 дней.

Например, пиктограмма вызывает клавиатуру со специальными символами.

Для каждого типа данных осуществляется разная обработка. Например, вот как она выглядит для звукового файла.

А вот анализ обычного бинарника.

Но самое интересное начинается при импорте данных (), это не обязательно должны быть свои таблицы, вы можете взять какую-нибудь готовую подборку и начать с ней работать. Это самая замечательная фича Wolfram Alpha Pro: система осуществляет автоматический анализ данных и составляет отчёт.

Отчёт точно привязан именно к конкретным данным. Если дать другие данные, то отчёт будет совершенно другим. Там могут быть графики, диаграммы, таблицы, могут применять статистические методы или какие-то другие способы анализа данных, Wolfram Alpha решает это самостоятельно.

И это не статичный отчёт, у каждого элемента есть выпадающие меню для углубленного анализа.

При наведении на любой элемент появится пять новых пиктограмм.

Зуммирует любой график.

позволяет кастомизировать графики в разных форматах, можно подобрать сочетания цветов. Стивен Вольфрам говорит , что многие пользователи просили об этой фиче.

Ещё одна востребованная функция вызывается значком , это возможность скачать с Wolfram Alpha «сырые» данные, то есть необработанную табличную выдачу.

И это не только таблицы JSON или CSV для построения обычных графиков, но ещё 60 форматов файлов , в том числе данные для 3D-геометрии (их можно использовать, например, в программе моделирования или для печати на трёхмерном принтере), аудиофайлы, данные молекулярных спецификаций, векторная и растровая графика и т.д.

Кроме отдельных файлов, можно скачать выдачу целиком в формате CDF (Computable Document Format) . Это интерактивный формат, позволяющий в программе CDF Player в офлайне производить манипуляции с данными - масштабировать диаграммы, менять параметры ползунками и т.д.

В середине 2009 года произошло рождение принципиально нового ресурса, который стали называть «Вольфрамова Альфа ». По некоторым предположениям, Альфа может погубить в некотором смысле поисковую систему Google. Возникновение Альфа ожидалось многими оптимизаторами, которых привлекал неплохой потенциал подобного ресурса. Вполне возможно, что оптимизаторами уже проводились некоторые подсчеты количества времени, за которое можно понять всю сущность определения релевантности и поиска интернет-страниц, а также, чтобы понять может ли новая система затмить всех существующих лидеров. Но достаточных оснований на такое не было найдено.

Вольфрамова Альфа , в общем, представляет собой вычислительную машину знаний, в которой создателем были продемонстрированы новые возможности. Здесь также имеются некоторые поисковые элементы, так как Альфа определенно должна искать информацию, которую позже будет соединять, обрабатывать, а также выдавать уже в виде готового результата. Но, многих оптимизаторов привлекало то, что Альфа может не только производить вычисления, но и выдавать конкретные факты. К тому же, Альфа находит информацию не в Интернете, а в базах данных, которые с самого начала предустановленны в ней. Альфа может предоставить самую точную информацию, по большинству вопросов.

Вольфрамова Альфа не возвращает список ссылок, который основан на результатах запроса, а способствует вычислению ответа, полагаясь на собственную базу знаний, которая включает в себя разнообразные данные из кинематографии, музыки, политики, географии, истории, медицины, биологии, химии, астрономии, физики, математики, а также многое другое. С его помощью можно осуществлять перевод данных между разными системами измерений, системами счисления, а также производить подбор формы последовательности, вычислять суммы, интегралы, системы уравнений и многое другое. Но, у расчета на основе собственной базы данных также имеются некоторые минусы. К примеру, уязвимость к ошибкам данных.

Движок Wolfram|Alpha базируется на обработке естественного языка (английского), NKS -подходе к ответам на запросы, огромной библиотеке алгоритмов. Он основывается на языке Mathematica и состоит из 5 миллионов строк, его выполнение происходит при помощи 10 тысяч процессоров.

Еще в юности Стивен Вольфрам стал довольно знаменитым, когда в 16-летнем возрасте стал автором статьи по физике элементарных частиц. Уже в 20-летнем возрасте ему была присвоена степень доктора наук в Калифорнийском технологическом институте. После окончания института он стал заниматься моделированием физических процессоров, компьютерной алгеброй, а также теорией клеточных автоматов. В 1986 году он стал основателем Wolfram Research, которая стала разрабатывать программное обеспечение для визуализации, сложных физических и математических расчетов.

Можно отметить, что Альфа является первым «огнем» семантической сети, в которую по задумкам создателей всемирной паутины должен превратиться Интернет. Так как новый Интернет будет основан на совершенно других принципах определения релевантности страниц веб-ресурсов. Но вот пока неизвестно, к каким методам оптимизаторы будут прибегать.

Поисковые системы также не остаются в стороне от новых изменений. Так, компания Google уже высказалась о том, что перенастраивает свою поисковую систему, в которой будут присутствовать уже новые функциональные возможности. Отныне данная поисковая система включает в себя поддержку микроформатов описания некоторых объектов, и к тому же, я зык описания метаданных RDF. Это способствовало началу новых перемен, к которым нужно просто привыкать, так как поисковые системы выйдут на совершенно новый уровень поиска.

Как пользоваться Wolfram Alpha:

• зайти на сайт WolframAlpha.com;
• в поле ввести определенный запрос, затем нажать на кнопку «=» либо просто Enter.

А вот искать в Wolfram Alpha можно абсолютно все, что заблагорассудится пользователю.

С помощью Wolfram Alpha можно сравнивать практически всё, нужно только ввести вопрос в поисковую строку: книги, комиксы, сериалы, фильмы и даже вымышленных персонажей - любые продукты поп-культуры. Это делается по стандартному запросу вида х vs y . Например, результат запроса AC/DC vs ABBA можно видеть на скриншоте выше.

Вычисление параметров для настройки фотокамеры

Тем, кто использует фотоаппараты с достаточным количеством настроек (в том числе это касается смартфонов), часто требуется рассчитать значения тех или иных параметров: ISO, контрастности, яркости, фокусного расстояния и прочих. Wolfram Alpha способна помочь в этом нелёгком деле.

Разъяснение терминов семейного родства

К сожалению, работает только для английского языка. Но как просто: не нужно ничего выдумывать, стоит просто ввести нужную последовательность терминов: сестра двоюродного брата дяди отца. А система не только расскажет, кем приходится столь дальний родственник, но и представит информацию в виде простой схемы.

Вычисление уровня алкоголя в крови

Конечно, приблизительно, но как ещё можно это вычислить без приборов? Поисковый запрос в данном случае будет выглядеть до смешного просто: «вес рост количество in время». Вес указывается в фунтах, рост - в дюймах. Под количеством выпитого нужно указать объём алкоголя в виде drinks, shots, pints - Wolfram Alpha сама прикинет, что вы пили и какой в этом градус. А после сообщит, через какое время алкоголь будет полностью выведен из организма.

Конвертация размеров обуви

Система Wolfram Alpha способна моментально перевести данные из одной системы в другую. Эта функция работает не только с инженерными и физическими единицами измерения, но и с размерной сеткой одежды или обуви. И не нужно вспоминать, где сохранена соответствующая табличка, если у вас есть смартфон и доступ к интернету. Пример запроса: US men’s size 8.5 shoe in france size .

Подсчёт калорий

C этой задачей система справляется до безобразия просто. Вводим количество и название продукта и получаем подробный отчёт о содержании калорий, белков, жиров, углеводов и даже витаминов. Названия продуктов, к сожалению, должны быть на английском языке - фразу «15 тарелок гречки с мясом» Wolfram Alpha не распознает.

Популярность имён

Выбираете кличку для собаки? Можете использовать поисковый запрос вида «имя name». Система выдаст подробную информацию о том, насколько это имя популярно, где наиболее распространено и в каких годах чаще всего использовалось.

Курсы валют

Конечно, это знает каждый поисковик. Но не каждый с ходу выдаёт результат, какова текущая стоимость определённой суммы валюты той или иной страны. А Wolfram Alpha умеет это делать по запросу «страна, сумма, год» (под страной имеется в виду страна, валюта которой вас интересует). Лучший способ рассчитать реальную инфляцию.

Настройка музыкального инструмента

Больше не нужны тюнеры и отдельные приложения для настройки инструментов. Wolfram Alpha позволяет просто ввести нужную ноту, например , и прослушать звук. При этом возможности математического поисковика приближаются к функциям профессиональных программ для настройки (вроде Guitar Pro). Очень удобная функция, которая работает на любой платформе, лишь бы был браузер.

Как видите, математические вычисления способны немного упростить нашу жизнь. Может быть, вы знаете ещё какие-то удобные приёмы работы с Wolfram Alpha? Расскажите в комментариях.

Примеры решения задач онлайн с помощью WolframAlpha

1. Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.
Пример 1 . Чтобы решить уравнение x 2 + 3 x - 4 = 0, нужно ввести solve x^2+3x-4=0
Пример 2. Чтобы решить уравнение log 3 2x = 2 , нужно ввести solve log(3, 2x)=2
Пример 3. Чтобы решить уравнение 25 x -1 = 0.2 , нужно ввести solve 25^(x-1)=0.2
Пример 4. Чтобы решить уравнение sin x = 0.5 , нужно ввести solve sin(x)=0.5

2. Решение систем уравнений.
Пример . Чтобы решить систему уравнений

x + y = 5,
x - y = 1,

нужно ввести solve x+y=5 && x-y=1
Знаки &&

3. Решение рациональных неравенств любой степени.
Пример . Чтобы решить неравенство x 2 + 3 x - 4 < 0, нужно ввести solve x^2+3x-4<0

4. Решение систем рациональных неравенств.
Пример. Чтобы решить систему неравенств

x 2 + 3 x - 4 < 0,
2 x 2 - x + 8 > 0,

нужно ввести solve x^2+3x-4<0 && 2х^2 - x + 8 > 0
Знаки && в данном случае обозначает логическое "И".

5. Раскрытие скобок + приведение подобных в выражении.
Пример . Чтобы раскрыть скобки в выражении (c+d ) 2 (a-c ) и привести подобные, нужно
ввести expand (c+d)^2*(a-c) .

6. Разложение выражения на множители.
Пример . Чтобы разложить на множители выражение x 2 + 3 x - 4, нужно ввести factor x^2 + 3x - 4 .

7. Вычисление суммы n первых членов последовательности (в том числе арифметической и геометрической прогрессий).
Пример . Чтобы вычислить сумму 20 первых членов последовательности, заданной формулой a n = n 3 +n , нужно ввести sum n^3+n, n=1..20
Если нужно вычислить сумму первых 10 членов арифметической прогрессии , у которой первый член a 1 = 3, разность d a1=3, d=5, sum a1 + d(n-1), n=1..10
Если нужно вычислить сумму первых 7 членов геометрической прогрессии , у которой первый член b 1 = 3, разность q = 5, то можно, как вариант, ввести b1=3, q=5, sum b1*q^(n-1), n=1..7

8. Нахожд ение производной.
Пример . Чтобы найти производную функции f (x ) = x 2 + 3 x - 4, нужно ввести derivative x^2 + 3x - 4

9. Нахожд ение неопределенного интеграла.
Пример . Чтобы найти первообразную функции f (x ) = x 2 + 3 x - 4, нужно ввести integrate x^2 + 3x - 4

10. Вычисление определенного интеграла.
Пример . Чтобы вычислить интеграл функции f (x ) = x 2 + 3 x - 4 на отрезке ,
нужно ввести integrate x^2 + 3x - 4, x=5..7

11. Вычисление пределов.
Пример . Чтобы убедиться, что

введите lim (x -> 0) (sin x)/x и посмотрите ответ. Если нужно вычислить какой-то предел при x , стремящемся к бесконечности, следует вводить x -> inf .

12. Исследование функции и построение графика .
Пример . Чтобы исследовать функцию x 3 - 3 x 2 и построить ее график, просто введите x^3-3x^2 . Вы получите корни (точки пересечения с осью ОХ ), производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы.

13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке .
Пример . Чтобы найти минимальное значение функции x 3 - 3 x 2 на отрезке ,
нужно ввести minimize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}
Чтобы найти максимальное значение функции x 3 - 3 x 2 на отрезке ,
нужно ввести maximize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}