Параметры частотной модуляции. Что такое модуляция и разновидности модулированных сигналов? Общий случай спектра сигнала с угловой модуляцией

Сигналы с угловой модуляцией, как и при AM, могут быть представлены в виде суммы гармонических колебаний. Сравнительно просто это можно сделать для тональной модуляции. При тональной модуляции спектры ФМ и ЧМ одинаковы, если , поэтому будем рассматривать только спектр ЧМ сигнала.

Преобразуем (2.15) по формуле косинуса суммы двух аргументов:

где – функция Бесселя -го порядка от аргумента . Подставляя (2.17) в (2.16), выполняя обычные алгебраические преобразования и раскрывая произведение тригонометрических функций, получаем:

.

Таким образом, спектр даже для однотональной угловой модуляции является довольно сложным. В формуле (2.18) первый член – гармоническая составляющая с частотой несущей. Группа гармонических составляющих с частотами определяет верхнюю боковую полосу частот, а группа составляющих с частотами нижнюю боковую полосу частот. Число верхних и нижних гармоник боковых частот теоретически бесконечно. Боковые гармонические колебания расположены симметрично относительно на расстоянии . Амплитуды всех компонент спектра, в том числе и с частотой , пропорциональны значениям функций Бесселя .

Формулу (2.18) можно представить в более компактном виде. Действительно учитывая , получаем:

.

Для построения спектральных диаграмм необходимо знание функций Бесселя при различных значениях и . Эти сведения имеются в математических справочниках . На рис. 2.6 приведены графики функций Бесселя при . Значения функций Бесселя, отсутствующих на графиках, можно найти по рекуррентной формуле:

.

Пример 2.1. Задано аналитическое выражение модулированного сигнала . Построить спектральную диаграмму этого сигнала.

Из математического уравнения сигнала следует, что это однотональная угловая модуляция с индексом . Спектральные составляющие сигнала определяем из уравнения (2.18), приняв , до тех пор, пока амплитуда составляющих не будет заданной, например меньше 2% от . По результатам расчетов построена спектральная диаграмма (рис. 2.7).

Анализ графиков функций Бесселя показывает, чем больше порядок функции Бесселя, тем при больших аргументах наблюдается ее максимум, однако при значения функций Бесселя оказываются малой величиной. Следовательно, малыми будут и соответствующие составляющие спектра; ими можно пренебречь. Поэтому ширину спектра сигналов с угловой модуляцией можно приближенно определить по формуле.

Вместо модуляции по амплитуде, как в AM, DSBSC и SSB, можно передавать информацию, модулируя частоту или фазу несущего сигнала:

ЧМ и ФМ тесно связаны и иногда их вместе относят к так называемой «угловой модуляции». ЧМ хорошо известна как тип модуляции, используемый в СВЧ радиовещательном диапазоне 88-108 МГц (диапазон УКВ), тогда как AM используют в полосе МГц радиовещательного диапазона. Тот, у кого есть настраиваемый ЧМ-приемник, вероятно, обратил внимание на «успокоение» фонового шума при ЧМ-приеме. Это свойство (возрастание отношения или увеличение канала) и делает широкополосную ЧМ предпочтительнее AM для высококачественных передач.

Еще о ЧМ: если девиация частоты велика по сравнению с модулирующей частотой (в ) сохранены самые верхние частоты), вы имеете «широкополосную ЧМ», как в УКВ радиовещательном диапазоне. Индекс модуляции , равный отношению девиации частоты к модулирующей частоте, в этом случае больше единицы. Широкополосная ЧМ предпочтительнее, так как при правильных условиях приема возрастает на 6 дБ при каждом удвоении девиации ЧМ. Правда, при этом увеличивается ширина полосы канала, поскольку сигнал при широкополосной ЧМ занимает приблизительно , где максимальное отклонение несущей частоты. ЧМ-радиовещание в полосе 88-108 МГц использует максимальное отклонение/дев , т. е. каждая станция занимает полосу около . Этим объясняется, почему широкополосная ЧМ не используется, например в АМ-диапазоне средних волн ( МГц): в этом случае во всем диапазоне могли бы работать только шесть станций данной радиовещательной зоны.

Рис. 13.44. Спектр широкополосной ЧМ.

Спектр ЧМ.

Спектр несущего колебания, частотно-модулированного синусоидальной волной, подобен приведенному на рис. 13.44. Многочисленные боковые частоты отстоят от несущей частоты на расстояниях, кратных модулирующей частоте, а их амплитуды определяются функциями Бесселя. Число значащих боковых полос, грубо говоря, соответствует индексу модуляции. Для узкополосной ЧМ (индекс модуляции имеется только по одной боковой с каждой стороны от несущей частоты. Внешне это похоже на спектр AM, но если учесть фазу боковых полос, то окажется, что эти волны имеют постоянную амплитуду и переменную частоту, а не постоянную частоту и переменную амплитуду (AM). При широкополосной ЧМ амплитуда несущей может быть очень малой, что обусловливает высокую эффективность ЧМ; это значит, что большая часть передаваемой энергии содержится в боковых частотах, несущих информацию.

Генерация и детектирование.

ЧМ легко получается при изменении параметров элементов настраиваемого контура генератора; варикап (диод, использумый как емкость, управляемая напряжением, (разд. ) здесь идеален. Другие методы включают в себя интегрирование модулирующего сигнала с последующей фазовой модуляцией. В каждом случае лучше вести модуляцию при малых отклонениях, а затем применить умножение частоты, чтобы увеличить индекс модуляции. Это основано на том, что скорость отклонения частоты не меняется при умножении частоты, в то время как значение самого отклонения умножается вместе с несущей частотой.

Для детектирования используют обычный супергетеродинный приемник с двумя особенностями. Первая - это наличие ограничителя в оконечном каскаде усиления ПЧ, на этом этапе амплитуда постоянна (насыщение). Вторая - следующий за ограничителем детектор (называемый дискриминатором) должен преобразовывать отклонения частоты в амплитуду. Приведем несколько распространенных методов детектирования.

1. «Детектор - это всего лишь параллельный контур LC, настроенный со сдвигом в одну сторону по отношению к промежуточной частоте; в результате у него получается нарастающая кривая чувствительности в зависимости от частоты во всей полосе ПЧ; при этом ЧМ преобразуется в AM, а обычный детектор преобразует потом AM в звуковые частоты. В улучшенных детекторах наклона используется сбалансированная пара -цепей, настроенных симметрично относительно центральной ПЧ.

2. Детектор Foster-Seely или его вариант «детектор отношений» состоит из одного резонансного контура, подключенного к дьявольски хитроумному диодному устройству для получения на выходе линейной зависимости амплитуды от частоты во всей полосе пропускания ПЧ. Такие дискриминаторы лучше простых детекторов наклона (рис. 13.45).

3. Фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ). Это устройство изменяет частоту внутреннего генератора, управляемого напряжением, так, чтобы согласовать ее с частотой выходного сигнала; оно было описано в разд. 9.31. Если на входе его действует сигнал ПЧ, то управляющее генератором напряжение в контуре ФАПЧ линейно зависит от частоты входного сигнала, т. е. его можно использовать как выход звуковой частоты.

4. Усредняющая схема, в которой сигнал ПЧ преобразуется в последовательность идентичных импульсов, имеющих частоту входного сигнала.

Рис. 13.45. ЧМ-дискриминаторы. А-дробный детектор; Б-балансный квадратурный детектор.

В результате усреднения этой последовательности импульсов на выходе вырабатывается сигнал, пропорциональный ПЧ, т. е. звуковому сигналу, сложенному с некоторой постоянной составляющей.

5. «Балансный квадратурный детектор» является комбинацией фазового детектора (см. разд. 9.27 и 9.31) и фазосдвигающей цепи. Сигнал ПЧ пропускается через контур, в котором сдвиг фазы меняется линейно с частотой в полосе пропускания ПЧ (-цепи прекрасно выполняют эти функции). Сдвинутый по фазе и первичный сигналы подаются на фазовый детектор, на выходе которого сигнал изменяется пропорционально относительному сдвигу фаз. Этот выход и является искомым звуковым сигналом (рис. 13.45).

Часто указывают, что ЧМ, если канал имеет достаточное отношение , обеспечивает прием с существенно меньшими шумами по сравнению с AM, где помехи мало уменьшаются с ростом мощности сигнала. Напомним, что это становится ощутимым, если ЧМ-сигналы ограничиваются по амплитуде перед детектированием. В этом случае система становится относительно нечувствительной к интерферирующим сигналам и шумам, которые проявляются как изменения амплитуды, накладываемые на передаваемый сигнал.

В данной статье речь пойдет о спектре сигнала с угловой модуляцией. Сначала рассмотрим однотональную угловую модуляцию, после чего рассмотрим более общий случай при произвольном модулирующем сигнале. Необходимо отметить, что в аналитическом виде можно получить выражение для спектра только в случае однотональной угловой модуляции.

Предварительно приведем некоторые математические соотношения из теории функций Бесселя и комплексных чисел, которые будут нам необходимы при анализе.

В математике доказывается, что функция раскладывается в бесконечный ряд:

(1)

Где - функция Бесселя первого рода целого порядка аргумента , - мнимая единица. Аналогично функция представляется рядом:

Вспомним из теории комплексных функций что:

Где - модулирующий сигнал, - индекс фазовой модуляции, - несущая частота, - случайная начальная фаза несущего колебания. Рассмотрим случай однотональной фазовой модуляции, когда где - частота модулирующего сигнала, - начальная фаза модулирующего сигнала. Тогда

Разложим на три суммы:

Возьмем теперь реальную часть:

(12)

Анализ спектра сигнала с однотональной угловой модуляцией

Теперь разбираемся. Спектр бесконечен и состоит из гармоник кратных частоте модулирующего сигнала вправо и влево от центральной частоты. Амплитуды гармоник зависят от индекса модуляции . При этом пять слагаемых показывают поведение спектра.

Первое слагаемое показывает, что амплитуды четных гармоник ниже центральной частоты равны , при этом фаза этих гармоник равна , при этом каждая четвертая гармоника, начиная со второй (2,6,10,14,18... гармоники) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для первого слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 малиновым цветом.

Второе слагаемое показывает амплитуды и фазы нечетных гармоник ниже центральной частоты. Амплитуды нечетных гармоник ниже центральной частоты равны , а фазы . Сдвиг фазы на из-за того, что во вторую сумму входят синусы, а не косинусы. Как и в первом слагаемом каждая четвертая гармоника, начиная с первой (1,5,9,13,17...) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для второго слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 синим цветом.

Третье слагаемое показывает гармонику несущей частоты. Ее амплитуда , фаза . На рисунке 1 гармоника центральной частоты — черная.

Четвертое слагаемое показывает амплитуды и фазы четных гармоник выше центральной частоты. Амплитуды такие же как и у четных гармоник ниже центральной частоты, а фазы равны , причем уже известный множитель сдвигает каждую четвертую фазу на , начиная со второй. На рисунке 1 гармоники четвертого слагаемого показаны красным цветом.

И наконец последнее пятое слагаемое соответствует нечетным гармоникам выше центральной. Амплитуды те же что и у нечетных гармоник ниже центральной частоты, фазы равны . Сдвиг фазы на из-за того, что в сумму входят синусы, а не косинусы, ну и конечно же каждая четвертая гармоника сдвинута на начиная с первой. На рисунке 1 гармоники пятого слагаемого показаны зеленым.

Рисунок 1: Амплитудный и фазовый спектры сигнала с фазовой модуляцией при m = 10

Несколько комментариев к рисунку 1. Полоса сигнала с угловой модуляцией по уровню 0,5 (-3 дБ) зависит от индекса модуляции и частоты модулирующего сигнала:

(13)

Где - девиация частоты. Чем выше частота модулирующего сигнала и чем выше индекс модуляции, тем полоса сигнала шире. Из рисунка 1 хорошо видно, что при ровно 10 гармоник справа и слева имеют амплитуду выше половины максимума. На фазовом спектре показаны параллельные прямые проведенные через фазовый спектр касающиеся каждую четвертую гармонику и показывающие сдвиг фаз при изменении номера гармоники. При этом необходимо отметить, что приведенный на рисунке 1 фазовый спектр не учитывается периодичность фазы. Фазовый спектр с учетом периодичности фазы представлен на рисунке 2.

Рисунок 2: Фазовый спектр с учетом периодичности фазы

При этом полученный спектр с однотональной фазовой модуляцией при частоте модулирующего сигнала и индексе модуляции соответствует спектру сигнала с однотональной частотной модуляцией при девиации частоты Таким образом, однотональная фазовая и частотная модуляции неотличимы. Различия будут наблюдаться если частота модулирующего сигнала будет меняться. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пусть имеется модулирующий сигнал с частотой 10 кГц.

(14)

Рассмотрим два сигнала - PM сигнал и - FM сигнал. Девиацию фазы при PM зададим , девиацию частоты при FM зададим . Несущую частоту обоих сигналов зададим равной

Амплитудные спектры FM и PM сигналов при данных параметрах приведены на рисунке 3.

Рисунок 3: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 10 кГц

Амплитудные спектры получились одинаковые, так как при заданных параметрах FM сигнала получаем девиацию фазы FM сигнала как у PM . Таким образом, получили сигналы в полосе 200 кГц с одинаковым количеством гармоник справа и слева от несущей .

Теперь уменьшим частоту модулирующего сигнала в 2 раза, то есть Несущую частоту, а также девиацию частоты и фазы не меняем. Амплитудные спектры в этом случае приведены на рисунке 4.

Рисунок 4: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 5 кГц

Спектры изменились. Давайте разберемся. Шаг между гармониками уменьшился в 2 раза (по сравнению с рисунком 3), так как шаг между гармониками равен частоте модулирующего сигнала, а она уменьшилась в 2 раза.

Поскольку при FM задается девиация частоты, то полоса FM сигнала не изменилась по сравнению с полосой FM сигнала на рисунке 3. Поскольку девиация частоты и девиация фазы связаны соотношением то девиация фазы при FM выросла в 2 раза за счет уменьшения частоты модулирующего сигнала (девиация частоты при FM не может изменятся).

Действительно, количество гармоник в полосе сигнала FM увеличилось в 2 раза. В PM, наоборот, задается девиация фазы, то есть количество гармоник в спектре, поэтому при уменьшении расстояния между гармониками девиация частоты PM сигнала уменьшается, в данном случае в 2 раза по сравнению с рисунком 3. Спектр PM как бы сжался по оси частот, не изменив формы, а спектр FM наоборот приобретает больше гармоник. Если же еще уменьшить частоту модулирующего колебания например до 2 кГц, то спектр FM останется таким же широким, так как девиация частоты не изменилась, но будет еще более насыщен гармониками, так как девиация фазы будет равна спектр PM же еще более «сожмется» оставив тоже количество гармоник. Девиация частоты при PM будет всего В этом можно убедится рассмотрев рисунок 5.

Рисунок 5: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 2 кГц

Общий случай спектра сигнала с угловой модуляцией

В случае однотональной угловой модуляции спектр сигнала симметричен, однако в общем случае спектр сигнала с угловой модуляцией не является симметричным. Симметричность спектра возникает в том случае, когда форма модулирующего сигнала сверху и снизу будет одинакова на рисунке приведен пример модулирующего сигнала, угловая модуляция которого приведет к несимметричному относительно центральной частоты спектру. В обоих случаях центральная частота равна 200кГц.

Рисунок 6: Несимметричный спектр FM и PM сигнала

Из рисунка явно видно, что спектры FM и PM сигналов несимметричны относительно 200 кГц, также формы спектров явно различаются. Несимметричность спектров сигналов с угловой модуляцией приводит к тому, что невозможно осуществить однополосную угловую модуляцию.

Выводы

Таким образом, мы получили аналитическое выражение для спектра сигнала с угловой модуляцией рассмотрели разницу FM и PM сигналов при изменении частоты модулирующего сигнала, а также показали несимметричность спектра сигнала с угловой модуляции при произвольном модулирующим сигнале.

Обратимся к модулированным сигналам, полученным путем изменения по закону передаваемого сообщения в несущем колебании частоты w 0 , или начальной фазы j 0 . Поскольку в обоих случаях аргумент гармонического колебания y(t ) = w 0 t + j 0 определяет мгновенное значение фазового угла, такие радиосигналы получили название сигналов с угловой модуляцией. Если в несущем колебании изменяется частота w 0 , то имеем дело с частотной модуляцией (ЧМ), если же изменяется фаза j 0 – фазовой модуляцией (ФМ).

Частотная модуляция. При частотной модуляции несущая частота w(t ) связана с модулирующим сигналом e (t ) зависимостью:

w(t ) = w 0 + k ч e (t ) (5.1)

здесь k ч - размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением, рад.

Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание e (t ) = E 0 cosWt , у которого для упрощения начальная фаза q 0 = 0. Пусть также начальная фаза несущего колебания j 0 = 0. При необходимости начальные фазы q 0 и j 0 легко могут быть введены в окончательные соотношения. Полную фазу ЧМ – сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования частоты, выраженной через формулу (5.1):

где w дч = - максимальное отклонение частоты от значения w 0 , или девиация частоты при частотной модуляции.

Отношение m ч = w дч /W = k ч E 0 /W, (5.3)

являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции.

С учетом (5.2) и (5.3) ЧМ – сигнал запишется в следующем виде:

На рис. 5.1 представлены временные диаграммы соответственно несущего колебания u н (t ) и модулирующего сигнала e (t ) с начальными фазами j 0 = q 0 = 90 o , и полученный в результате процесса частотной модуляции ЧМ – сигнал u чм (t ) . Нетрудно заметить, что по формуле ЧМ-сигнал напоминает сжатые и растянутые меха русской гармошки.

Фазовая модуляция. В ФМ – сигнале полная фаза несущего колебания изменяется пропорционально модулирующему напряжению

y (t ) = w 0 t + k ф e (t ), (5.5)

где k ф - размерный коэффициент пропорциональности, рад/В.

Рис. 5.1 Частотная однотональная модуляция:

а – несущее колебание; б – модулирующий сигнал; в – ЧМ – сигнал

При однотональной модуляции фаза несущего колебания:

y (t ) = w 0 t + k ф E 0 cosWt , (5.6)

Из (5.6) следует, что, как и в случае частотной модуляции, полная фаза несущего колебания изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение фазы несущего колебания от начальной фазы характеризует индекс фазовой модуляции

m ф = k ф E 0 . (5.7)

Подставляя формулы (5.5) и (5.6) в (4.1), запишем ФМ - сигнал

Дифференцирование формулы (5.6) дает частоту ФМ – сигнала

w(t ) = w 0 - m ф W sinWt = w 0 - w дф sinWt , (5.9)

где w дф = m ф W = k ф E 0 W - максимальное отклонение частоты от значения несущей w 0 , т. е. девиация частоты при фазовой модуляции.

Выражения (5.4), (5.8) показывают, что при однотональной угловой модуляции нельзя определить, является ли сигнал частотно или фазо-модулированным. Различия между этими видами однотональной модуляции проявляется только при изменении амплитуды Е 0 или частоты W моду-лирующего сигнала e (t ).

В случае частотной модуляции девиации частоты w дч пропорциональна амплитуде Е 0 и не зависит от частоты W модулирующего сигнала e (t ) = E 0 cosWt . Индекс же модуляции m ч прямо пропорционален амплитуде Е 0 и обратно пропорционален частоте W модулирующего сигнала. При фазовой модуляции девиации частоты w дф изменяется пропорционально амплитуде Е 0 и частоте модулирующего сигнала. Индекс модуляции m ф пропорционален амплитуде Е 0 и нее зависит от частоты W модулирующего сигнала.

Спектр ЧМ – сигнала при однотональной модуляции. Используя тригонометрические преобразования, запишем соотношение (5.4) следующим образом:

= U н cos(m sinWt )cosw 0 t - U н sin(m sinWt )sinw 0 t . (5.10)

Проанализируем выражение (5.10) отдельно для малых (m << 1) и больших (m >1) индексов модуляции.

Спектр ЧМ – сигнала при m << 1. В этом случае имеют место приближенные равенства

cos(m sinWt ) » 1; sin(m sinWt ) » m sinWt . (5.11)

Подставив (5.11) в (5.10), получим

u ЧМ (t ) = U н cosw 0 t - U н m sinW sinw 0 t =

+ U н cosw 0 t + (mU н /2)cos(w 0 + W)t - (mU н /2) cos(w 0 - W)t . (5.12)

Рис.5.2. Диаграммы ЧМ – сигнала при m << 1:

а – спектральная; б - векторная

Сравнение соотношений (5.12) и (4.6) показывает, что спектр ЧМ – сигнала аналогичен спектру АМП – сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами (w 0 + W) и (w 0 - W). Индекс модуляции m играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной модуляции М . Единственное и принципиальное отличие - знак минус перед нижней боковой составляющей в формуле для ЧМ – сигнала, который характеризирует поворот ее фазы на 180 0 , что аналитически приводит к превращению АМП – сигнала в ЧМ – сигнал.

На рис.5.2,а представлена спектральная диаграмма для ЧМ – сигнала при индексе модуляции m << 1. Отметим, что ширина спектра в данном случае равна 2W, как и при амплитудной модуляции.

На векторной диаграмме рис.5.2, б показано, как изменение фазы нижней боковой составляющей на 180 0 (вектор АД) влияет на вектор результирующего колебания ОВ. Направление вектора АД нижней боковой составляющей при АМ – сигнале обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180 0 не влияет на вектор модуляции АВ, который всегда перпендикулярен вектору несущей ОА. Вектор результирующего колебания ОВ изменяется как по фазе, так и по амплитуде, т.е. с течением времени «качается» вокруг центрального положения. Однако при m<< 1 изменения амплитуды настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию рассматривать как чисто фазовую.

Теоретический спектр ЧМ – сигнала (аналогично и ФМ – сигнала) бесконечен по полосе частот, однако в реальных случаях он ограничен. Дело в том, что начиная с номера порядка n > m+1 , значения функций Бесселя становится весьма малыми. Поэтому считается, что практическая ширина спектра радиосигналов с угловой модуляцией

Dw ум = 2(m +1)W.

Рис. 5.3. Спектр ЧМ – сигнала.

ЧМ – и ФМ – сигналы, применяемые на практике, имеют индекс модуляции m >>1, поэтому

Dw ум = 2m W = 2w д.

Таким образом, полоса частот, занимаемая сигналами с однотональной частоты модуляцией, равна удвоенной величине девиации частоты и не зависит от частоты модуляции. Спектр сигналов с угловой модуляцией при негармоническом модулирующем сигнале определить достаточно трудно. Но он всегда сложнее, чем спектр АМ – сигнала при том же модулирующем сигнале. Ширина его спектра также значительно больше, чем при амплитудной модуляции.

Примерная структура спектра ЧМ– сигнала при индексе модуляции m =3 показана на рис. 5.3.

Следует отметить, что радиосигналы с частотой и фазовой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1.Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебании не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от амплитуды модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к искажению передаваемого сообщения.

2.Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизменной колебательной мощности.

Литература: 1, 2; 6[ 46-61].

Контрольные вопросы:

1.Как осуществляется частотная модуляция?

2.Покажите индекс частотной модуляции.

3.Что такое девиация частоты?

4. Покажите индекс фазавой модуляции.

5. Нарисуйте вид колебания однотональной частотной модуляции.

6. Как изменяется индекс модуляции с ростом частоты?

7. Покажите спектр частотной модуляции.