Еще одна стандартная унарная операция, которую мы изучим, – это операция проекции. Операция проекции – это операция выбора столбцов из таблицы, представляющей отношение, по какому

либо признаку. А именно машина выбирает те атрибуты (т. е. буквально те столбцы) исходного отношения

операнда, которые были указаны в проекции.

^ Оператор проекции обозначается [S" ] или π . Здесь S" – подсхема исходной схемы отношения S , т. е. ее некоторые столбцы. Что это означает? Это означает, что у S’ атрибутов меньше, чем у S , потому что в S" остались только те из них, для которых выполнилось условие проекции. А в таблице, представляющей отношение r (S" ), строк столько же, сколько их у таблицы r (S ), а столбцов – меньше, так как остались только соответствующие оставшимся атрибутам. Таким образом, оператор проекции π< S"> применительно к отношению r (S ) дает в результате новое отношение с другой схемой отношения r (S" ), состоящее из проекций t (S ) [S" ] кортежей исходного отношения. Как определяются эти проекции кортежей? Проекция любого кортежа t (S ) исходного отношения r (S ) на подсхему S" определяется следующей формулой:

t (S ) [S’ ] = {t (a )|a ∈ def (t ) ∩ S ’}, S " ⊆S .

Важно заметить, что дубликаты кортежей из результата исключаются, т. е. в таблице, представляющей новое, результирующее отношение повторяющихся строк не будет.

С учетом всего вышесказанного, операция проекции в терминах систем управления базами данных будет выглядеть следующим образом:

π <S" >r (S ) ≡ π <S’ >r ≡ r (S ) [S ’] ≡ r [S" ] = {t (S ) [S’ ] | t ∈ r };

Рассмотрим пример, иллюстрирующий принцип работы операции выборки.

Пусть дано отношение «Сессия» и схема этого отношения:

S : Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);

Нас будут интересовать только два атрибута из этой схемы, а именно «№ зачетной книжки» и «Фамилия» студента, поэтому подсхема S" будет выглядеть следующим образом:

^ S" : (№ зачетной книжки, Фамилия).

Нужно исходное отношение r (S ) спроецировать на подсхему S" .

t 0 (S ) ∈ r (S ): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Значит, проекция этого кортежа на данную подсхему ^ S" будет выглядеть следующим образом:

t 0 (S ) S" : {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’)};

Если говорить об операции проекции в терминах таблиц, то проекция Сессия [№ зачетной книжки, Фамилия] исходного отношения – это таблица Сессия, из которой вычеркнуты все столбцы, кроме двух: № зачетной книжки и Фамилия. Кроме того, все дублирующиеся строки также удалены.

^

3. Унарная операция переименования

И последняя унарная операция, которую мы рассмотрим, – это операция переименования атрибутов . Если говорить об отношении как о таблице, то операция переименования нужна для того, чтобы поменять названия всех или некоторых столбцов.

^ Оператор переименования выглядит следующим образом: ρ<φ >, здесь φ – функция переименования .

Эта функция устанавливает взаимно

однозначное соответствие между именами атрибутов схем S и Ŝ, где соответственно S – схема исходного отношения, а Ŝ – схема отношения с переименованными атрибутами. Таким образом, оператор ρ <φ> в применении к отношению r (S ) дает новое отношение со схемой Ŝ , состоящее из кортежей исходного отношения только с переименованными атрибутами.

Запишем операцию переименования атрибутов в терминах систем управления базами данных:

ρ <φ > r (S ) ≡ ρ <φ >r = {ρ <φ > t (S )| t ∈ r };

Приведем пример использования этой операции:

Рассмотрим уже знакомое нам отношение Сессия, со схемой:

S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);

Введем новую схему отношения Ŝ, с другими именами атрибутов, которые мы бы хотели видеть вместо имеющихся:

Ŝ : (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);

Например, заказчик базы данных захотел в вашем готовом отношении видеть другие названия. Чтобы воплотить в жизнь этот заказ, необходимо спроектировать следующую функцию переименования:

φ : (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка) → (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);

Фактически, требуется поменять имя только у двух атрибутов, поэтому законно будет записать следующую функцию переименования вместо имеющейся:

φ : (№ зачетной книжки, Оценка) → (№ ЗК, Балл);

t 0 (S ) ∈ r (S ): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Применим оператор переименования к этому кортежу:

ρ<φ> t 0 (S ): {(№ ЗК: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Балл: 5)};

Итак, это один из кортежей нашего отношения, у которого переименовали атрибуты.

В табличных терминах отношение

ρ < № зачетной книжки, Оценка → «№ ЗК, Балл > Сессия –

это новая таблица, полученная из таблицы отношения «Сессия», переименованием указанных атрибутов.

^

4. Свойства унарных операций

У унарных операций, как и у любых других, есть определенные свойства. Рассмотрим наиболее важные из них.

Первым свойством унарных операций выборки, проекции и переименования является свойство, характеризующее соотношение мощностей отношений. (Напомним, что мощность – это количество кортежей в том или ином отношении.) Понятно, что здесь рассматривается соответственно отношение исходное и отношение, полученное в результате применения той или иной операции.

Заметим, что все свойства унарных операций следуют непосредственно из их определений, поэтому их можно легко объяснить и даже при желании вывести самостоятельно.

1) соотношение мощностей:

а) для операции выборки: | σ <P >r |≤ |r |;

б) для операции проекции: | r [S" ] | ≤ |r |;

в) для операции переименования: | ρ <φ >r | = |r |;

Итого, мы видим, что для двух операторов, а именно для оператора выборки и оператора проекции, мощность исходных отношений – операндов больше, чем мощность отношений, получаемых из исходных применением соответствующих операций. Это происходит потому, что при выборе, сопутствующему действию этих двух операций выборки и проекции, происходит исключение некоторых строк или столбцов, не удовлетворивших условиям выбора. В том случае, когда условиям удовлетворяют все строки или столбцы, уменьшения мощности (т. е. количества кортежей) не происходит, поэтому в формулах неравенство нестрогое.

В случае же операции переименования, мощность отношения не изменяется, за счет того, что при смене имен никакие кортежи из отношения не исключаются;

2) свойство идемпотентности:

а) для операции выборки: σ <P > σ <P >r = σ <P >;

б) для операции проекции: r [S’ ] [S’ ] = r [S" ];

в) для операции переименования в общем случае свойство идемпотентности неприменимо.

Это свойство означает, что двойное последовательное применение одного и того же оператора к какому

либо отношению равносильно его однократному применению.

Для операции переименования атрибутов отношения, вообще говоря, это свойство может быть применено, но обязательно со специальными оговорками и условиями.

Свойство идемпотентности очень часто используется для упрощения вида выражения и приведения его к более экономичному, актуальному виду.

И последнее свойство, которое мы рассмотрим, – это свойство монотонности. Интересно заметить, что при любых условиях все три оператора монотонны;

3) свойство монотонности:

а) для операции выборки: r 1 ⊆ r 2 ⇒ σ <P > r 1 ⇒ σ <P >r 2 ;

б) для операции проекции: r 1 ⊆ r 2 ⇒ r 1 [S" ] ⊆ r 2 [S" ];

в) для операции переименования: r 1 ⊆ r 2 ⇒ ρ <φ >r 1 ⊆ ρ <φ >r 2 ;

Понятие монотонности в реляционной алгебре аналогично этому же понятию из алгебры обычной, общей. Поясним: если изначально отношения r 1 и r 2 были связаны между собой таким образом, что r ⊆ r 2 , то и после применения любого их трех операторов выборки, проекции или переименования это соотношение сохранится.

Начинать изучать SQL лучше всего с азов реляционных баз данных. Я дам пояснение что такое реляционная база данных, что такое отношение и какие операции над ними можно производить.

Поехали …

Что такое SQL?

SQL (Structured Query Language) – структурированный язык запросов, универсальный компьютерный язык, применяемый для создания, модификации и управление данными в реляционных базах данных

Что такое реляционная база данных?

Это совокупность взаимосвязанных данных хранящихся в виде отношений

Что такое отношения?

Отношение это некое множество картежей

Что такое кортеж?

Картеж это определенный набор элементов, причем каждый элемент набора принадлежит некоторому множеству (можно сказать типу элемента). Если говорить проще, то кортеж это список элементов, между которыми есть связь или как говорят, есть отношение . Представить кортеж можно с помощью графа или таблицы состоящий из одной строки.

Продемонстрирую кортеж из двух элементов с помощью графа:

Вершины графа это элементы их некоторого множества, в данном случае, это элемент а1 из множества А и элемент b1 из множества B . Ребро между вершинами обозначает связь между элементами или как говорят элемент а1 находится в отношение с b1 .

Продемонстрирую этот же кортеж с помощью таблицы:

Номер 1 у а1 и b1 , был выбран произвольно.

Итак, мы добрались до элементарного кирпичика, т.е. до кортежа , начнем разматывать нашу логику обратно, что бы понять, что такое реляционная база данных и SQL .

Как я сказал, отношение это множество кортежей , причем ограниченное (если отойти от теории). Представить отношения можно в виде матрицы, графа, таблицы.

Продемонстрирую, как представить отношение в виде графа:

На графике видно, что есть несколько кортежей, причем какой кортеж первый, а какой второй и третий не важно , это просто множество кортежей. В множестве нет такого понятия «первый», «второй» и «третий», это всё сразу и очередность не важна.

Продемонстрирую, как представить отношение в виде таблицы:

Последовательность строк или кортежей в таблице не важна , из графа я их взял в произвольном порядке.

Также важно заметить, что последовательность столбцов тоже не важна , если мы поменяем их местами, то с точки зрения теории множеств, отношение останется не низменным . В этом как раз и заключается отрицательная сторона таблицы, как способа визуализации отношения, ведь нам психологически трудно будет назвать таблицы равными, если у них в разной последовательности следуют столбы и строки.

Как было сказано в самом начале, что реляционная база данных это совокупность взаимосвязанных данных хранящихся в виде отношений . Если представлять отношения в виде таблиц, то реляционная БД это некий набор взаимосвязанных таблиц . Выходит SQL это язык создания, модификации и управление таблицами в реляционной БД .

Итак, с логической цепочкой мы разобрались: SQL, реляционная БД, отношения, кортеж..Теперь мы затронем язык SQL, т.е. тему манипулирования с отношениями, важно разобраться какие операции мы можем проводить над отношениями .

Все операции продемонстрировать не возможно, в связи с их большим количеством, приведу только базовые:

1. Селекция (другие имена операции — выборка, ограничение)

Операция «селекция» или «выборка» выполняется над одним отношением , смысл его заключается в том, что по заданному условию осуществляется выборка подмножества кортежей . Результат операции – отношение отличающиеся от исходного меньшим числом кортежей . Пример:

Пусть есть отношение, назовем его «исходная таблица №1»:

Результат «выборки» из исходной таблицу №1, при условии что А=а3

На языке SQL:

синтаксис — SELECT * FROM имя_таблицы WHERE имя_столбца=значение

SELECT * FROM исходная_таблица WHERE А=a3

2. Проекция

Операция «проекция» выполняется над одним отношением , в результате неё формируется новое отношение с указанными столбцами таблицы .

Например, есть отношение, назовем ее «исходная таблица №2»:

Произведем над данным отношением операцию «проекция» по атрибутам А и С , результат:

В результате мы получили два одинаковых картежа, в отношение такого быть не может, поэтому сократим их (в СУБД сокращения происходят автоматически):

Выходит, при проекции у нас может сокращаться число кортежей , это бывает, за ошибку это считать не надо .

На языке SQL:

синтаксис — SELECT список_столбцов FROM имя_таблицы

реализация для данного случая — SELECT А,С FROM исходная_таблица_№2

3. Естественное соединение

Операция «естественное соединение » выполняется над двумя логическими связанными отношениями , в результате неё формируется новое отношение со столбцами первого и второго отношения и с кортежами, которые получаются в результате соединения каждого кортежа первого и второго отношения . На примере должно быть более понятно, пусть есть два отношения, назовем их исходная таблица №3.1 и исходная таблица №3.2:

Исходная таблица №3_1

Исходная таблица №3_2

Проведем операцию «соединения» первого и второго отношения, результат:

Интересно заметить, что мы получили исходное отношение из раздела «2. Проекция», последовательность столбцов в отношение значения не имеет.

На языке SQL:

реализация для данного случая — SELECT исходная_таблица_№3_1.*, исходная таблица №3_2.В FROM исходная_таблица_№3_1, исходная таблица №3_2 WHERE исходная таблица №3_1.A= исходная таблица №3_2.A

4. Объединение

Операция «объединение» выполняется над двумя отношениями имеющих одинаковый набор столбцов и тип данных в этих столбцах , результат операции новое отношение, которое включает в себя все кортежи «первого» и «второго» отношения (повторяющиеся сокращаются).

Исходная таблица №4_1

Исходная таблица №4_2

Произведем операцию «объединения» отношения №4.1 и отношения №4.2 , результат:

На языке SQL:

синтаксис — SELECT список_столбцов_таблицы1 FROM таблица1 UNION SELECT список_столбцов_таблицы2 FROM таблица2

реализация для данного случая — SELECT А,В FROM исходная_таблица_№4_1 UNION SELECT А,В FROM исходная_таблица_№4_2

5. Пересечение

Операция «пересечение» выполняется , результат операции новое отношение, которое включает в себя одинаковые кортежи «первого» и «второго» отношения .

Пример, пусть есть два отношения:

Исходная таблица №5_1

Исходная таблица №5_2

Произведем операцию «пересечения» с данными отношениями, результат:

Т.е. в результирующее отношение, попали повторяющиеся кортежи из «первого» и «второго» отношения.

На языке SQL:

синтаксис — SELECT одна_из_таблиц.столбец1, одна_из_таблиц.столбец2, … FROM таблица1,таблица2 WHERE таблица1.столбец1=таблица2.столбец1 AND таблица1.столбец2= таблица2.столбец2 AND …

реализация для данного случая –

SELECT исходная_таблица_№5_1.А, исходная_таблица_№5_1.В FROM исходная_таблица_№5_1, исходная_таблица_№5_2 WHERE исходная_таблица_№5_1.А = исходная_таблица_№5_2.А AND исходная_таблица_№5_1.В = исходная_таблица_№5_2.В

6. Вычитание (разность)

Операция «вычитание» выполняется над двумя отношениями имеющими одинаковый набор столбцов и тип данных в этих столбцах , результат операции новое отношение, которое включает в себя кортежи «первого» отношения отличные от кортежей «второго» отношения , на примере думаю должно быть более понятно.

Пример, пусть есть два отношения:

Исходная таблица №6_1

Исходная таблица №6_2

Произведем операцию «разность» , т.е. от исходной таблицы №6_1 отнимем исходную таблицу №6_2, результат:

Т.е. результирующее отношение, это «первое» отношение без повторяющихся кортежей «второго» отношения.

На языке SQL:

реализация для данного случая – SELECT исходная_таблица_№6_1.А, исходная_таблица_№6_1.В FROM исходная_таблица_№6_1 WHERE NOT EXISTS (SELECT исходная_таблица_№6_2.А, исходная_таблица_№6_2.В FROM исходная_таблица_№6_2
WHERE исходная_таблица_№6_2.А= исходная_таблица_№6_1.А AND исходная_таблица_№6_2.В= исходная_таблица_№6_1.В)

7. Декартово произведение

Декартово произведение выполняется над двумя произвольными отношениями, результат операции новое отношение с количество столбцов равному сумме количества столбцов «первого» и «второго» отношения, а количество строк равному произведение количеству строк «первого» и «второго» отношения . Кортежи результирующего отношение, если говорить по-простому, получаются путем комбинации каждого кортежа «первого» отношения с кортежами «второго» отношения.

Пример, пусть есть два произвольных отношения:

Исходная таблица №7_1

Исходная таблица №7_2

Произведем «декартово произведение» данных двух отношений, результат:

На языке SQL:

реализация для данного случая – SELECT исходная_таблица_№7_1.А, исходная_таблица_№7_1.В, исходная_таблица_№7_2.А, исходная_таблица_№7_2.В FROM исходная_таблица_№7_1, исходная_таблица_№7_2

Мы разобрались с основными операции над отношениями и напоследок теоретической части поста разберемся что такое ключ.

Что такое ключ?

Ключ – это один или не сколько столбцов таблицы , которые однозначно определяют запись (строку) . Пример, пусть есть отношение представленное в виде таблицы:

Ключом данного отношения может быть столбец А . Т.к. значения только данного столбца в отношение , например: а3 определяет запись «а3 b1 d3» , a2 определят запись «a2 b2 d3» , a1 определяет запись «a1 b2 d1» . Другие столбцы данную функцию нести не могут.

Если ключ состоит из одного столбца , то его называют простым , если из нескольких его называют составным . В данной таблице, помимо простого ключа, есть еще один – составной, состоящий из столбцов B и D . Значения этих столбцов однозначной определят запись (строки), пример: b1 и d3 однозначно определяет запись «a3 b1 d3» , b2 и d3 однозначной определяет запись «a2 b2 d3» , b2 и d1 однозначно определяет запись «a1 b2 d1» .

На практике обычно выбирают один ключ , причем самый простой , в данном случае это столбец А . Такой ключ также называют «первичный ключ ».

Вам будет интересно:

Реляционная алгебра базируется на теории множеств и является основой логики работы баз данных.
Когда я только изучал устройство баз данных и SQL, предварительное ознакомление с реляционной алгеброй очень помогло дальнейшим знаниям правильно уложиться в голове, и я постараюсь что бы эта статья произвела подобный эффект.

Так что если вы собираетесь начать свое обучение в этой области или вам просто стало интересно, прошу под кат.

Реляционная база данных

Для начала введем понятие реляцинной базы данных, в которой будем выполнять все действия.

Реляционной базой данных называется совокупность отношений, содержащих всю информацию, которая должна хранится в базе. В данном определении нам интересен термин отношение, но пока оставим его без строго определения.
Лучше представим себе таблицу продуктов.

Таблица PRODUCTS

Таблица состоит из 4х строк, строка в таблице является кортежем в реляционной теории. Множество упорядоченных кортежей называется отношением.
Перед тем как дать определение отношения, введем еще один термин - домен. Домены применительно к таблице это столбцы.

Для ясности, теперь введем строгое определение отношения.

Пусть даны N множеств D1,D2, …. Dn (домены), отношением R над этими множествами называется множество упорядоченных N-кортежей вида , где d1 принадлежит D1 и тд. Множества D1,D2,..Dn называются доменами отношения R.
Каждый элемент кортежа представляет собой значение одного из атрибутов, соответствующего одному из доменов.

Ключи в отношениях

Таблица DRIVERS

Видно, что в организации может быть несколько водителей, и чтобы однозначно идентифицировать водителя необходимо и значение из столбца “Название организации” и из “Имя водителя”. Такой ключ называется составным.

В реляционной БД таблицы взаимосвязаны и соотносятся друг с другом как главные и подчиненные. Связь главной и подчиненнной таблицы осуществляется через первичный ключ (primary key) главной таблицы и внешний ключ (foreign key) подчиненной таблицы.
Внешний ключ это атрибут или набор атрибутов, который в главной таблице является первичным ключем.

Этой подготовительной теории будет достаточно для знакомства с основными операциями реляционной алгебры.

Операции реляционной алгебры

• Объединение
• Пересечение
• Вычитание
• Декартово произведение
• Выборка
• Проекция
• Соединение
• Деление

Для понимания важно запомнить, что результатом любой операции алгебры над отношениями является еще одно отношение, которое можно потом так же использовать в других операциях.
Создадим еще одну таблицу, которая нам пригодится в примерах.

Таблица SELLERS

Для начала рассмотрим самую простую операцию - имя отношения. Её результатом будет такое же отношение, то есть выполнив операцию PRODUCTS, мы получим копию отношения PRODUCTS.

Проекция

Синтаксис операции:
π (ID, PRICE) PRODUCTS

В условии выборки мы можем использовать любое логическое выражение. Сделаем еще одну выборку с ценой больше 90 и ID товара меньше 300:

σ (PRICE>90 ^ ID<300) PRODUCTS

Умножение

Получим декартово произведения таблиц PRODUCTS и SELLERS.
Синтаксис операции:

PRODUCTS × SELLERS
Можно заметить, что у двух этих таблиц есть одинаковый домен ID. В подобной ситуации домены с одинаковыми названиями получают префикс в виде названия соответствующего отношения, как показано ниже.
Для краткости перемножим не полные отношения, а выборки с условием ID<235

(цветом выделены одни и те же кортежи)

Для примера использования этой операции представим себе необходимость выбрать продавцов с ценами меньше 90. Без произведения необходимо было бы сначала получить ID продуктов из первой таблицы, потом по этим ID из второй таблицы получить нужные имена SELLER, а с использованием произведения будет такой запрос:

π (SELLER) σ (RODUCTS.ID=SELLERS.ID ^ PRICE<90) PRODUCTS × SELLERS

В результате этой операции получим отношение:

Соединение и естественное соединение

Также для понятности можно представить соеднинение как результат двух операций. Сначала берется произведение исходных таблиц, а потом из полученного отношения мы делаем выборку с условием равенства атрибутов из одинаковых доменов. В данном случае условием явлется равенство PRODUCTS.ID и SELLERS.ID.

Попробуем соединить отношения PRODUCTS и SELLERS и получим отношение.

Натуральное соединение получает схожее отношение, но в случае, если у нас корректно настроена схема в базе (в данном случае первичный ключ таблицы PRODUCTS ID связан с внешним ключем таблицы SELLERS ID), то в результирующем отношении остается один домен ID.

Синтаксис операции:
PRODUCTS ⋈ SELLERS;

Получится такое отношение:

Пересечение и вычитание.

Источники информации

• Основы использования и проектирования баз данных - В. М. Илюшечкин
• курс лекций Introduction to Databases - Jennifer Widom, Stanford University

Буду благодарен за аргументированные замечания

Реляционная алгебра, как нетрудно догадаться, – это особая разновидность алгебры, в которой все операции производятся над реляционными моделями данных, т. е. над отношениями.

В табличных терминах отношение включает в себя строки, столбцы и строку – заголовок столбцов. Поэтому естественными унарными операциями являются операции выбора определенных строк или столбцов, а также смены заголовков столбцов – переименования атрибутов.

Первой унарной операцией, которую мы рассмотрим, является операция выборки – операция выбора строк из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо принципу, т. е. выбор строк-кортежей, удовлетворяющих определенному условию или условиям.

Оператор выборки обозначается ? <P >, условие выборки – P <S >, т. е., оператор ? берется всегда с определенным условием на кортежи P , а само условие P записывается зависящим от схемы отношения S . С учетом всего этого сама операция выборки над схемой отношения S применительно к отношению r

? <P >r (S ) ? ? <P >r = {t (S ) |t ? r & P <S >t } = {t (S ) |t ? r & IfNull (P <S >t , False };

Результатом этой операции будет новое отношение с той же схемой отношения S , состоящее из тех кортежей t (S ) исходного отношения-операнда, которые удовлетворяют условию выборки Pt . Понятно, что для того, чтобы применить какое-то условие к кортежу, необходимо подставить значения атрибутов кортежа вместо имен атрибутов.

Чтобы лучше понять принцип работы этой операции, приведем пример. Пусть дана следующая схема отношения:

S : Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка).

Условие выборки возьмем такое:

P <S > = (Предмет = ‘Информатика’ and Оценка > 3).

Нам необходимо из исходного отношения-операнда выделить те кортежи, в которых содержится информация о студентах, сдавших предмет «Информатика» не ниже, чем на три балла.

Пусть также дан следующий кортеж из этого отношения:

t 0 (S ) ? r (S

Применяем наше условие выборки к кортежу t 0 , получаем:

Pt 0 = (‘Базы данных’ = ‘Информатика’ and 5 > 3);

На данном конкретном кортеже условие выборки не выполняется.

А вообще результатом этой конкретной выборки

? <Предмет = "Информатика" and Оценка > 3 > Сессия

будет таблица «Сессия», в которой оставлены строки, удовлетворяющие условию выборки.