Одним из главных условий надёжной работы ЭЭС является её устойчивость, т.е. способность ЭЭС восстанавливать исходный или близкий к исходному установившийся режим после его нарушения и после соответствующего переходного режима. Иными словами, устойчивость - это способность ЭЭС сохранять синхронную работу.

Различают два вида неустойчивости:

• 1. «Самораскачивание», которое проявляется в нарастающих колебаниях параметров режима, так называемая колебательная неустойчивость.
• 2. «Сползание» - апериодический уход от положения равновесия, так называемая апериодическая неустойчивость.

Причины раскачивания (колебательной неустойчивости): Э4

• · Неправильная настройка АРВ СГ, когда регулирование возбуждения вместо демпфирования раскачивает режим.
• · Неудачный выбор параметров системы регулирования мощности турбин.
• · Работа генераторов на сеть с большой емкостью: линии с высокой степенью УПК, протяженные линии в режимах холостого хода или малых нагрузок.

Основной причиной апериодической неустойчивости является перегрузка электропередач.

Различают следующие три вида устойчивости:

• · Статическая устойчивость (СУ) - это способность ЭЭС сохранять синхронную работу после малого возмущения режима.
• · Динамическая устойчивость (ДУ) - это способность ЭЭС сохранять синхронную работу после большого возмущения режима. В тех случаях, как правило, когда возникает небаланс активных мощностей на валу хотя бы одного из генераторов.
• · Результирующая устойчивость (РУ) - это способность ЭЭС восстанавливать синхронную работу после кратковременного её нарушения (после кратковременного, допустимого по условиям эксплуатации асинхронного режима).

Исследование статической устойчивости имеет обычно целью определение параметров предельного по устойчивости режима. Зная эти параметры и параметры исходного (планируемого) режима, легко можно определить запас статической устойчивости.

Характер нарушения апериодической СУ и ее обеспечения определяется с помощью характеристик генератора и турбины (рис. В.3).

д -Угол нагрузки

Рис.

Как отмечалось, устойчивы только те режимы, рабочие точки которых находятся на восходящей ветви характеристики генератора (точка «а»).

Наоборот, в точке «в» работа невозможна, режим неустойчив. Например, при малом увеличении угла д на валу ротора появляется ускоряющий небаланс. Под его действием ротор еще больше ускоряется, угол продолжает увеличиваться и т.д., процесс необратим. При уменьшении угла также возвращение в исходную точку не происходит, а угол продолжает уменьшаться.

Таким образом, падающая ветвь характеристики генератора является зоной апериодической неустойчивости.

Действительно, при этом малое увеличение угла Дд (точка а1) приведет к увеличению тормозящей электрической мощности. На валу генератора появляется тормозящий небаланс мощности. Под его действием скорость вращения уменьшится и угол уменьшится (т.е. исходный режим восстановится). Аналогично происходит при уменьшении угла.

В установившемся режиме работы генератора механический момент M 1 на валу первичного двигателя (паровая или гидротурбина) равен электромагнитному моменту M, развиваемому генератором (рис. 17.3). Момент М 1 не зависит от угла поворота ротора и поэтому изображен горизонтальной прямой, которая пересекается с характеристикой M = f(и) в точках 1 и 2 .

В этих точках М 1 = М. Это необходимое условие для установившегося движения, но не всегда для устойчивого. Устойчивая работа будет только в точке 1 потому, что если ротор по какой-то причине повернется на угол больший чем и 1 и станет и 1 + Ди (точка 1 "), то электромагнитный момент возрастает до значения M+ДM, что будет больше чем момент у первичного двигателя (M+ДM)> M 1 , это заставит ротор затормозиться и вернуться в положение 1 с углом и 1 . Если при работе в точке 1 угол и в результате случайного возмущения уменьшится, то при прекращении действия этого возмущения генератор также вернется в режим работы в точку 1 .

В точке 2 работа будет неустойчивой. Если при работе в точке 2 угол и увеличится на Ди (точка 2 ”), то момент генератора уменьшится и станет меньше момента первичного двигателя (M-ДM) < M 1 , ротор будет ускоряться, угол и еще больше возрастет и т. д. В результате генератор выйдет из синхронизма, перейдет в двигательный режим и т. д. Если же при работе в точке 2 угол и уменьшится, то вследствие нарушения баланса моментов будет уменьшаться и далее, пока этот баланс M = M 1 не восстановится в точке 1 .

Таким образом, работа неявнополюсного генератора устойчива в области 0 < и < 90° и неустойчива в области 90 < и < 180°. Поэтому угол

и = 90° является критическим углом, и кр = ±90°.

Расчеты устойчивости ЭЭС имеют следующие основные цели:

• 1. Определение уровня устойчивости ЭЭС и сопоставление его с желаемым. При этом выявляется та область исходных режимов и те повреждения, при которых требуется противоаварийное управление.
• 2. Обеспечить и повысить устойчивость ЭЭС можно путём воздействия на переходные режимы за счёт так называемых управляющих воздействий (УВ), исходящих от устройств автоматики: 1.релейной защиты, автоматического повторного включения (АПВ), АВР, 2.противоаварийной автоматики (ПАА) или 3.персонала.

Системы релейной защиты и АПВ обеспечивают простейшие УВ: отключение повреждённых элементов системы, различные виды повторных включений. Однако в современных сложных ЭЭС лишь эти простейшие УВ часто не обеспечивают устойчивость, поэтому приходится использовать более сложные УВ, обеспечиваемые системой ПАА, такие, как отключение генераторов, отключение нагрузки и другие, которые будут рассмотрены далее.

Характер протекания переходных режимов непосредственно влияет на условия работы ЭЭС, определяя надёжность её работы, устойчивость и живучесть. При отсутствии надлежащего управления или неправильном управлении переходными режимами в ЭЭС развивается системная авария, являющаяся самой тяжёлой, поскольку приводит к нарушению электроснабжения большого числа потребителей, погашению электростанций.

Установившийся режим работы энергосистемы является квазиустановившемся, так как характеризуется малыми изменениями перетоков активной и реактивной мощности, значений напряжений и частоты. Таким образом, в энергосистеме постоянно один установившийся режим работы переходит к другому установившемуся режиму работы. Малые изменения режима работы энергосистемы возникают вследствие увеличения или снижения потребления электроустановок потребителя. Малые возмущения, вызывают реакцию системы в виде колебаний скорости вращения роторов генераторов, которые могут быть нарастающими или затухающими, колебательными или апериодическими. Характер получаемых колебаний определяет статическую устойчивость данной системы. Статическая устойчивость проверяется при перспективном и рабочем проектировании, разработке специальных устройств автоматического регулирования (расчеты и эксперименты), вводе в эксплуатацию новых элементов системы, изменении условий эксплуатации (объединение систем, ввод новых электростанций, промежуточных подстанций, линий электропередачи).

Под понятием статической устойчивости понимают способность энергосистемы восстанавливать исходный или близкий к исходному режим работы энергосистемы после малого возмущения или медленных изменениях параметров режима.

Статическая устойчивость является необходимым условием существования установившегося режима работы системы, но не предопределяет способность системы продолжать работу при возникновении конечных возмущений, например, коротких замыканий, включения или отключения линий электропередачи.

Различают два вида нарушений статической устойчивости: апериодическое (сползание) и колебательное (самораскачивание).

Статическая апериодическая (сползание) устойчивость связана с изменением баланса активной мощности в энергосистеме (изменение разности между электрической и механической мощностями), что приводит к росту угла δ, в результате может произойти выпадение машины из синхронизма (нарушение устойчивости). Угол δ изменяется без колебаний (апериодически), сначала медленно, а затем всё быстрее, как бы сползая (см. рис. 1,а).

Статическая периодическая (колебательная) устойчивость связана с настройками автоматических регуляторов возбуждения (АРВ) генераторов. АРВ должны быть настроены таким образом, чтобы исключить возможность самораскачивания системы в широком диапазоне режимов работы. Однако, при некоторых сочетаниях ремонтов (схемно-режимной ситуации) и настройках регуляторов возбуждения могут возникнуть колебания в системе регулирования, вызывающие нарастающие колебания угла δ вплоть до выпадения машины из синхронизма. Это явление и называется самораскачиванием (см. рис. 1,б).

Рис.1. Характер изменения угла δ при нарушении статической устойчивости в виде сползания (а) и самораскачивания (б)

Статическая апериодическая (сползание) устойчивость

Первый этап исследования статической устойчивости – это исследование статической апериодической устойчивости. При исследовании статической апериодической устойчивости предполагается, что вероятность колебательного нарушения устойчивости при увеличении перетока по межсистемным связям очень мала и можно пренебречь самораскачиванием. Для определения области апериодической устойчивости энергосистемы производят утяжеление режима работы энергосистемы. Метод утяжеления заключается в последовательном изменении параметров узлов или ветвей, или их групп заданными шагами с последующим расчетом нового установившегося режима на каждом шаге изменения и выполняется до тех пор, пока обеспечивается возможность расчета.

Рассмотрим простейшую схему сети, которая состоит из генератора, силового трансформатора, линии электропередачи и шин бесконечной мощности (см. рис.2).

Рис.2. Схема замещения расчетной цепи

В рассматриваемом простейшем случае электромагнитная мощность, которую можно передать от генератора к шинам бесконечной мощности, описывается следующим выражением:

В записанном выражении переменная представляет собой модуль линейного напряжения на шинах станции, приведенный к стороне ВН, а переменная - модуль линейного напряжения в точке шин бесконечной мощности.

Рис.3. Векторная диаграмма напряжений

Взаимный угол между вектором напряжения и вектором напряжения обозначается через переменную - , для которого в качестве положительного направления принимается направление против часовой стрелки от вектора напряжения .

Следует отметить, что формула для электромагнитной мощности написана в предположении, что генератор снабжен автоматическим регулятором возбуждения, который контролирует напряжение на стороне генераторного напряжения (), а также для простоты выкладок пренебрегли активным сопротивлением в элементах расчетной схемы.

Анализируя формулу для электромагнитной мощности можно сделать вывод, что величина передаваемой мощности в энергосистему зависит от угла между напряжениями. Данная зависимость получила название угловой характеристикой мощности электропередачи (см. рис.4).

Рис.4. Угловая характеристика мощности

Установившийся (синхронный) режим работы генератора определяется равенством двух моментов, действующих на вал турбогенератора (считаем, что можно пренебречь моментом сопротивления, обусловленным трением в подшипниках и сопротивлением охлаждающей среды): момент турбины Мт , вращающий ротор генератора и стремящийся ускорить его вращение, и синхронный электромагнитный момент Мэм , противодействующий вращению ротора.

Допустим, что в турбину генератора поступает пар, который создает крутящий момент на валу турбины (при некотором приближении он равен внешнему моменту Мвн , передаваемому от первичного двигателя). Установившийся режим работы генератора может быть в двух точках: А и Б, так как в данных точках соблюдается баланс между моментом турбины и электромагнитным моментом с учетом потерь.

точке А увеличение/уменьшение мощности турбины на величину ΔP приведет к увеличению/уменьшению угла d, соответственно. Таким образом, сохраняется равновесие моментов, действующих на вал ротора (равенство момента турбины и электромагнитного момента с учетом потерь), и тем самым нарушение синхронной машины с сетью не происходит.

При работе синхронной машины в точке В увеличение/уменьшение мощности турбины на величину ΔP приведет к уменьшению/ увеличению угла d, соответственно. Таким образом, равновесие моментов, действующих на вал ротора, нарушается. В результате либо генератор выпадает из синхронизма (т. е. ротор начинает вращаться с частотой, отличающейся от частоты вращения магнитного поля статора), либо синхронная машина переходит в точку устойчивой работы (точка А).

Таким образом, из рассмотренного примера видно, что простейшим критерием сохранения статической устойчивости является положительный знак у выражения, которое определяет отношение приращения мощности к приращению угла:

Таким образом, область устойчивой работы определяется диапазоном углов от 0 до 90 градусов, а в области углов от 90 до 180 градусов, устойчивая параллельная работа невозможна.

Максимальное значение мощности, которая может быть передана в энергосистему, называется пределом статической устойчивости, и соответствует значению мощности при взаимном угле 90 градусов:

Работа на предельной мощности, соответствующей углу 90 градусов, не производится, так как малые возмущения, всегда имеющиеся в энергосистеме (например, колебания нагрузки), могут вызвать переход в неустойчивую область и нарушение синхронизма. Максимальное допустимое значение передаваемой мощности принимается меньшим предела статической устойчивости на величину коэффициента запаса статической апериодической устойчивости по активной мощности.

Запас статической устойчивости для электропередачи в нормальном режиме должен составлять не менее 20%. Значение допустимого перетока активной мощности в контролируемом сечении по данному критерию определяется по формуле:

Запас статической устойчивости для электропередачи в послеаварийном режиме должен составлять не менее 8%. Значение допустимого перетока активной мощности в контролируемом сечении по данному критерию определяется по формуле:

Статическая периодическая (колебательная) устойчивость

Неправильно выбранный закон управления или неправильная настройка параметров автоматического регулятора возбуждения (АРВ) может привести к нарушению колебательной устойчивости. При этом нарушение колебательной устойчивости может происходить в режимах не превышающих предельного режима по апериодической устойчивости, что неоднократно наблюдалось в действующих электроэнергетических системах.

Исследование колебательной статической устойчивости сводится к следующим этапам:

1. Составление системы дифференциальных уравнений, которая описывает рассматриваемую электроэнергетическую систему.

2. Выбор независимых переменных и выполнение линеаризации записанных уравнений с целью формирования системы линейных уравнений.

3. Составление характеристического уравнения и определение области статической устойчивости в пространстве регулируемых (независимых) параметров настройки АРВ.

Об устойчивости нелинейной системы судят по затуханию переходного процесса, который определяется корнями характеристического уравнения системы. Для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Для оценки устойчивости применяют различные методы анализа характеристического уравнения:

1. алгебраические методы (метод Рауса, метод Гурвица), основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения.

2. частотные методы (метод Михайлова, Найквиста, D-разбиения), основанные на анализе частотных характеристик.

Мероприятия по повышению предела статической устойчивости

Мероприятия по повышению предела статической устойчивости определяются при анализе формулы для определения электромагнитной мощности (формула записана в предположении, что генератор снабжен автоматическим регулятором возбуждения):

1. Применение АРВ сильного действия на генерирующем оборудовании.

Одним из эффективных средств повышения статической устойчивости является применение АРВ генераторов сильного действия. При использовании устройств АРВ генераторов сильного действия угловая характеристика видоизменяется: максимум характеристики смещается в область значений углов больших 90° (с учетом относительного угла генератора).

2. Поддержание напряжения в точках сети с помощью устройств компенсации реактивной мощности.

Установка устройств компенсации реактивной мощности (СК, УШР, СТК и т.п.) для поддержания напряжения в точках сети (устройства поперечной компенсации). Устройства позволяют поддерживать напряжения в точках сети, что благоприятно сказывается на пределе статической устойчивости.

3. Установка устройств продольной компенсации (УПК).

При увеличении длины линии соответственно возрастает ее реактивное сопротивление и вследствие этого существенно ограничивается предел передаваемой мощности (ухудшается устойчивость параллельной работы). Уменьшение реактивного сопротивления длинной линии электропередачи повышает ее пропускную способность. Для уменьшения индуктивного сопротивления линии электропередачи в рассечку линии устанавливают устройство продольной компенсации (УПК), которое представляет собой батарею статических конденсаторов. Таким образом результирующее сопротивление линии уменьшается, тем самым увеличивается пропускная способность.

Реферат

Пояснительная записка содержит 21 страницы, 6 таблиц, 14 рисунков,3 источников литературы, в которой подробно расписана методика расчёта, которая использовалась в данной работе.

Объект исследования: система электропередачи.

Цель работы: получить навыки расчёта электромеханических переходных процессов в системе электропередачи, рассчитать предельное снижение напряжения на шинах асинхронного двигателя, оценить статическую и динамическую устойчивость системы.

Введение

Исходные данные

Заключение

Введение

Устойчивость энергосистемы - это способность ее возвращаться в исходное состояние при малых или значительных возмущениях. По аналогии с механической системой установившийся режим энергосистемы можно трактовать как равновесное положение ее.

Параллельная работа генераторов электрических станций, входящих в энергосистему, отличается от работы генераторов на одной станции наличием линий электропередачи, связывающих эти станции. Сопротивления линий электропередачи уменьшают снихронизирующую мощность генераторов и затрудняют их параллельную работу. Кроме того, отклонения от нормального режима работы системы, которые происходят при отключениях, коротких замыканиях, внезапном сбросе или набросе нагрузки, также могут привести к нарушению устойчивости, что является одной из наиболее тяжелых: аварий, приводящей к перерыву электроснабжения потребителей Поэтому изучение проблемы устойчивости очень важно, особенно применительно к линиям электропередачи переменным током. Различают два вида устойчивости: статическую и динамическую.

Статической устойчивостью называют способность системы самостоятельно восстановить исходный режим при малых и медленно происходящих возмущениях, например при постепенном незначительном увеличении или уменьшении нагрузки.

Динамическая устойчивость энергосистемы характеризует способность системы сохранять синхронизм после внезапных и резких изменений параметров режима или при авариях в системе (коротких замыканиях, отключений часта генераторов, линий или трансформаторов). После таких внезапных нарушений нормальной работы в системе возникает переходный процесс, по окончании которого вновь должен наступить установившийся послеаварийный режим работы.

Именно такие внезапные нарушения в работе СЭС приводят к тяжелым экономическим последствия для населения и промышленных объектов.

Современная энергетика уделяет очень большое внимание борьбе с авариями на линиях, короткими замыканиями, большой вклад делает еще на стадии проектировании СЭС городов и предприятий.

Исходные данные

Схема для расчёта представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Схема системы электропередачи

Исходные данные для расчёта первой и второй задачи принимаем по таблице в соответствии с номером варианта.

Технические данные трансформаторов:

Тип транс форматора,

МВАПределы регулиро

вания, %, кВ

обмоток, %

%ВНТДЦ-250000/110250-11013.8; 15.75; 1810,56402000.5ТДЦ-630000/110630-1102010.59003200.45

Параметры двухцепной воздушной линии электропередачи

Марка провода,

Ом/кмДлина

l , кмU,кВАС-3300.1070.3670.3820.3301.3890.931300110

Рисунок 2 - Схема системы для расчёта предельного снижения напряжения на шинах асинхронного двигателя

Исходные данные для расчёта третьей задачи принимаем ниже по таблице в соответствии с номером варианта.

Технические данные асинхронного электродвигателя

ТипНоминальные данныеПусковые характеристикиP, кВтI, АN, об/мин, %, кг*м2U, кВn0, об/минДАЗО 17-39-8/1050061.574191.00.855.20.652.12886741

Параметры КЛ:

Тип проводаДлина l , кмх0, Ом/кмАПвВ 1*3000,0350,099

Составляем схему замещения системы, которая представлена на рис.1 и рассчитываем индуктивные сопротивления всех элементов:

Рисунок 3 - Схема замещения системы

индуктивное сопротивлении задано,

индуктивное сопротивление трансформаторов:

индуктивное сопротивление ЛЭП:

Все сопротивления схемы замещения приводятся к номинальному напряжению генератора. Сопротивление трансформаторов:

сопротивление ЛЭП:

Определяем суммарное сопротивление системы:

Рассчитываем номинальную реактивную мощность генератора:

Определяем приближённое значение синхронной ЭДС генератора:

Определяем значение коэффициента запаса статической устойчивости:

По данным расчёта строим векторную диаграмму.

Рисунок 4 - Векторная диаграмма

Результаты расчёта заносим в таблицу 3.

Таблица 3

МВт0162312,5442541603,7625603,7541442312,51620

Рисунок 5 - Угловая характеристика мощности

Система является статически устойчивой, так как коэффициент запаса больше 20%. И предел передаваемой мощности генератора в систему достигается при угле? = 900.

Рассчитываем режимы по очереди.

2.1 Расчёт аварийного и послеаварийного режима при однофазном коротком замыкании в точке К-1

1.1 Нормальный режим

1.2 Аварийный режим

Составляем схему замещения системы при однофазном КЗ

Рисунок 6 - Схема замещения для аварийного режима при однофазном КЗ

Суммарное сопротивление КЗ Х? при однофазном коротком замыкании равно сумме сопротивлению обратной последовательностии сопротивлению нулевой последовательности.

Преобразуем схему замещения системы при однофазном КЗ из соединения "звезда" в соединение "треугольник" со сторонами Х1, Х2, Х3.

Сопротивление Х2 и Х3 могут быть отброшены, т.к. поток мощности отдаваемый генератором в сеть не проходит через эти сопротивления.

Рисунок 7 - Преобразованная схема замещения

Определим суммарное сопротивлении системы:

Где X?=X2?+X0? - шунт несимметричного КЗ, который включается между началом и концом схемы прямой и обратной последовательности.

Определяем индуктивное сопротивление нулевой последовательности Х0?:

Определим индуктивное сопротивление обратной последовательности X2?

Определяем сопротивления шунта КЗ X?:

X2?+X0? = 3 +0,097 = 3,097 Ом

Хd?II = 20,2 + 0,1 + 3,5 +0,04 + = 47Ом.

Определяем предел передаваемой мощности генератора в систему:

Изменяя значения угла от 0 до 180 град., рассчитываем соответствующие значения мощности отдаваемой генератором в систему по формуле:

Результаты расчёта заносим в таблицу 4.

Таблица 4

Град0153045607590105120135150165180, МВт081,3157222,3271,9303,3314303,3271,9222,315781,30

1.3 Послеаварийный режим

Составляем схему замещения системы для послеаварийного режима.

Рисунок 8 - Схема замещения для послеаварийного режима при однофазном КЗ

Послеаварийный режим определяется отключением одной цепи ЛЭП, после чего сопротивление изменяется:

Определяем суммарное сопротивлении системы:

Определяем предел передаваемой мощности генератора в систему:

Рассчитываем значение углов:

Тоткл = +

Поскольку линия имеет защиту, то через некоторое время она отключится выключателями. Следовательно, выбираем элегазовый выключатель серии ВГБЭ-35 - 110 с временем отключения = 0,07 с. Также должно быть предусмотрены устройства релейной защиты от КЗ. Выбираем токовое реле РТ-40 с временем уставки = 0,08 с.

0,07 + 0,08 = 0,15 с,

Находим время отключения КЗ:

Тоткл = 0,07 + 0,15 = 0,22 с.

29 ? 0,22, что удовлетворяет условию? Тоткл

Изменяя значения угла от 0 до 180 град., рассчитываем соответствующие значения мощности отдаваемой генератором в систему по формуле:

Таблица 5

Результаты расчёта заносим в таблицу 5.

град0153045607590105120135150165180,

МВт0140270.5382.5468.5522.6541522.6468.5382.5270.51400

Строим в одной координатной плоскости угловые характеристики мощности в нормальном, аварийном и послеаварийном режимах, на графике указываем значение мощности турбины Р0. С учётом рассчитанного значения предельного угла отключения КЗ ?откл на графике строим площади ускорения и торможения.

Рисунок 9 - График угловых характеристик мощностей и площади ускорения и торможения при однофазном КЗ

2.2 Расчёт аварийного и послеаварийного режима при трёхфазном коротком замыкание в точке К-2

2.2.1 Нормальный режим

Расчёт нормального режима проведён в задаче 1.

2.2 Аварийный режим

Составляем схему замещения системы при трёхфазном КЗ

Рисунок 10 - Схема замещения системы при трёхфазном КЗ

При трёхфазном КЗ в точке К-2 взаимное сопротивление схемы становится бесконечно большим, т.к. сопротивление шунта КЗ Х? (3) = 0. При этом характеристика мощности аварийного режима совпадает с осью абсцисс.

2.3 Послеаварийный режим

Схема замещения при трехфазном коротком замыкании и и расчет послеаварийного режима аналогичем послеаварийному режиму, приведенному в п.2.1.3

Рассчитываем значение углов:

Находим предельный угол отключения КЗ?откл:

Рассчитываем предельное время отключения КЗ:

Выбираем соответствующие уставки срабатывания устройств РЗА:

Тоткл = +

Поскольку линия имеет защиту, то через некоторое время она отключится выключателями. Следовательно, выбираем элегазовый выключатель серии

ВГТ - 110 с временем отключения = 0,055 с. Также должны быть предусмотрены устройства релейной защиты от КЗ. Выбираем токовое реле РТ-40 с временем уставки = 0,05 с.

Время действия релейной защиты определяется:

0,005 + 0,05 = 0,055 с,

Находим время отключения КЗ:

Тоткл = 0,055 + 0,055 = 0,11 с.

17 ? 0,11, что удовлетворяет условию? Тоткл

Строим в одной координатной плоскости угловые характеристики мощности в нормальном, аварийном и послеаварийном режимах, на графике указываем значение мощности турбины Р0. С учётом рассчитанного значения предельного угла отключения КЗ?откл на графике строим площади ускорения и торможения.

Рисунок 11 - График угловых характеристик мощностей и площади ускорения и торможения при трёхфазном КЗ

Для определения динамической устойчивости системы при однофазном КЗ необходимо рассмотреть площади ускорение Fуск и торможения Fторм. Условием для динамической устойчивости системы является неравенство: Fуск? Fторм. Невооруженным глазом видно по графику угловой характеристики, что площадь ускорения на порядок больше площади торможения, значит система не является динамически устойчивой. Следовательно, накопленная кинетическая энергия не успевает превратиться в потенциальную, в результате скорость вращения ротора и угол? будут расти и генератор выпадет из синхронизма. Для определения статической устойчивости системы необходимо найти коэффициент запаса. Вычислив коэффициент запаса, можно сделать вывод, что система является статически устойчивой, так как.

Рассчитываем параметры элементов электропередачи и параметры нагрузки, приведённые к базисному напряжению Uб = 6 кВ и базисной мощности:

Sб = SАД ном = ,

Сопротивление линии:

Индуктивное сопротивление рассеяния магнитной цепи двигателя:

Определяем активную мощность потребляемая в исходном режиме двигателя:

Находим активное сопротивление ротора двигателя в исходном режиме (упрощенная схема замещения асинхронного двигателя):

0392 +0,05? = ,

произведём замену на х и получим:

05х2 - х + 0,0392 = 0;

Д = в2 - 4ас = 12 - 4?0,05?0,0392 = 0,99216;

Выбираем наибольший из корней уравнения и получаем:

Определяем реактивную мощность, потребляемую в исходном режиме двигателем:

Определяем напряжение на шинах системы в исходном режиме:

Определяем напряжение на шинах системы, при котором происходит затормаживание двигателя:

Определяем запас статической устойчивости двигателя по напряжению:

Для построения механической характеристики М = f (S) по уравнению

М = , необходимо произвести следующий расчёт:

Определяем номинальную частоту вращения ротора:

ном = n0? (1 - Sном) = 741? (1-0,01) = 734 об/мин.

Находим критическое скольжение:

кр = Sном?(?? +) = 0,01? (2,1 +) = 0,039.

Определяем номинальный и максимальный (критический) моменты двигателя:

Мном = = Н?м,

Мmax = ?? ? Мном = 2,1?6505,3 = 13661, 4 Н?м.

Для построения механической характеристики воспользуемся формулой Клосса:

Задавшись различными значениями скольжения S, найдём соответствующие им значения момента М. Результаты расчёта занесем в таблицу 6.

Таблица 6

SM, Н?м000,0166480,039136610,06124190,08105890,192620,251260,335020,426420,521180,617630,715180,813320,9115011064

По данным таблицы 6 строим график М = f (S):

Рисунок 12 - График механической характеристики асинхронного двигателя

Система является статически устойчивой, так как коэффициент запаса двигателя по напряжению больше 20%

Заключение

После выполнения данной курсовой работы были отработаны и закреплены теоретические знания, приобретенные в течение семестра по расчету различных видов КЗ; проверки системы на статическую и динамическую устойчивать; построения угловых характеристик мощности и механической характеристики асинхронных.

Научился выполнять анализ системы на устойчивость, рассчитывать режимы работы системы до, после, и во время различных видов КЗ.

Можно сделать вывод, что расчет электромеханических переходных процессов занимает одну из значимых позиций по расчету и проектировании различных простых и сложных систем энергоснабжения.

Список используемой литературы

1. Куликов Ю.А. Переходные процессы в электрических системах: Учеб. пособие. - Новосибирск: НГТУ, М.: Мир: ООО "Издательство АСТ", 2008. -

Боровиков В.Н. и др. Электроэнергетические системы и сети - Москва: Метроиздат., 2010. - 356 с.

Аполлонов А.А. Расчет и проектирование релейной защиты и автоматики - С. - Петербург, 2009г. - 159 с.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Если статическая устойчивость характеризует установившийся режим системы, то при анализе динамической устойчивости выяв­ляется способность системы сохранять синхронный режим работы при больших его возмущениях. Большие возмущения возникают Ври различных коротких замыканиях, отключении линий электропередачи, генераторов, трансформаторов и пр. К большим возму­щениям относятся также изменения мощности крупной нагрузки потеря возбуждения какого-либо генератора, включение крупных двигателей. Одним из следствий возникшего возмущения является отклонение скоростей вращения роторов генераторов от синхрон­ной (качания роторов генераторов системы).

Если после какого-либо возмущения взаимные углы роторов примут определенные значения (их колебания затухнут около ка­ких-либо новых значений), то считается, что динамическая устой­чивость сохраняется. Если хотя бы у одного генератора ротор начинает проворачиваться относительно поля статора, то это при­знак нарушения динамической устойчивости. В общем случае о динамической устойчивости системы можно судить по зависимо­стям d и ЭДС E’q. Мощность, вы­даваемая генератором в систему, равна мощности турбины и обо­значена Р0, угол генератора - d0. Характеристика мощности, соответствующая нормальному (доаварийному) режиму, может быть получена из выражения (9.10) без учета второй гармоники, что вполне допустимо в практических расчетах. Принимая Еq" = Е", получим выражение характеристики мощности в следующем виде:

Где,

d S (n a) = x " d + xTl + xLl + xT 2 увеличится по сравнению с x"dS (суммарное сопро­тивление нормального режима). Это вызовет уменьшение макси­мума характеристики мощности послеаварийного режима (кри­вая 2, рис. 10.1, г). После внезапного отключения линии происхо­дит переход с характеристики мощности 1 на характеристику 2. Из-за инерции ротора угол d не может измениться мгновенно, по­этому рабочая точка перемещается из точки а в точку b .

На валу, соединяющем турбину и генератор, возникает избы­точный момент, определяемый разностью мощности турбины, ко­торая не изменилась после отключения линии, и новой мощности генератора (D Р = Р0 - Р(0))- Под влиянием этой разности ротор ма­шины начинает ускоряться, двигаясь в сторону больших углов d. Это движение накладывается на вращение ротора с синхронной скоростью, и результирующая скорость вращения ротора будет w=w0+ Dw, где w0 - синхронная скорость вращения; Dw - относительная скорость. В результате ускорения ротора рабочая точка начинает движение по характеристике 2. Мощность генератора возрастает, а избыточный (ускоряющий) момент (пропорциональ­ный разности D Р = ро - Р(0)) - убывает. Относительная скорость Dw возрастает до точки с. В точке с избыточный момент становится равным нулю, а скорость Dw - максимальной. Движение ротора со скоростью со не прекращается в точке с, ротор по инерции прохо­дит эту точку и продолжает движение. Но избыточный момент при этом меняет знак и начинает тормозить ротор. Относительная скорость вращения начинает уменьшаться и в точке d становится равной нулю. Угол d в этой точке достигает своего максимального значения. Но и в точке d относительное движение ротора не пре­кращается, так как на валу агрегата действует тормозной избыточ­ный момент, поэтому ротор начинает движение в сторону точки с, относительная скорость при этом становится отрицательной. Точку с ротор проходит по инерции, около точки b угол становится минимальным, и начинается новый цикл относительного движе­ния. Колебания угла d(t) показаны на рис. 10.1, г. Затухание коле­баний объясняется потерями энергии при относительном движении ротора.

Избыточный момент связан с избытком мощности выражением

где w - результирующая скорость вращения ротора.

Изменение скорости Dw при качаниях пренебрежимо мало по сравнению со скоростью w0, поэтому с достаточной для практика точностью можно принять w = w0, и тогда получаем (выражая DМ, DР и w0 в относительных единицах) DМ* = DР/w0 = DР*, посколь­ку w0 = 1. Рассматривая только относительное движение ротора и работу, совершаемую в этом движении, можно предположить, что при перемещении ротора на бесконечно малый угол db избыточ­ный момент выполняет элементарную работу DМdd. При отсутст­вии потерь вся работа идет на изменение кинетической энергии ротора в его относительном движении.

В тот период движения, когда избыточный момент ускоряет вращение ротора, кинетическая энергия, запасенная ротором в пе­риод его ускорения, будет определяться по формуле

где fabc - заштрихованная площадь abc на рис. 10.1, г. Изменение кинетической энергии в период торможения вычисляется как

Площади fabc и fcde пропорциональные кинетической энергии ускорения и торможения, называются площадями ускорения и тор­можения.

В период торможения кинетическая энергия ротора переходит в потенциальную энергию, которая возрастает с уменьшением ско­рости Асо. В точке d кинетическая энергия равна нулю, и для опре­деления максимального угла отклонения ротора 5W достаточно выполнить условие

FУСК = FТОР=0

Отсюда следует, что при максимальном угле отклонения площадь ускорения должна быть равна площади торможения. Максимально возможная площадь торможения определяется углом dкр. Если мак­симальный угол превысит значение dкр, то на валу турбина - гене­ратор возникнет ускоряющий избыточный момент (Р0 > PG ) и генератор выпадет из синхронизма. На рис. 10.1, г площадь cdm - максимально возможная площадь ускорения. Определив ее, можно оценить запас динамической устойчивости. Коэффициент запаса вычисляется по выражению

Рис. 10.2. Короткое замыкание в простейшей систе­ме: а - принципиальная схема; б - схема замещения для режима КЗ в точке К1

генератор с системой. Это сопротивление может быть найдено из схемы замещения (рис. 10.2, б) следующим образом:

https://pandia.ru/text/79/122/images/image011_11.jpg" align="left" width="172 height=192" height="192">Это время рассчитывается как

t откл = tЗ + t выкл

где tЗ - собственно время сра­батывания защиты; t выкл - время срабатывания выключате­лей В1 и В2 (предполагается, что выключатели срабатывают одновременно).

Времени /откл соответствует

угол отключения КЗ dОТКЛ. Отключение КЗ вызывает пе­реход с характеристики мощ­ности аварийного режима 2 на характеристику послеаварий­ного режима 3. При этом из­быточный момент меняет знак, превращаясь из ускоряющего в

тормозящий. Ротор, тормозясь, продолжает движение в сторону увеличения угла из-за накопленной в процессе ускорения кинети­ческой энергии. Это движение будет продолжаться до тех пор, по­ка площадь торможения fdefg не станет равной площади ускорения fabcd . В точке f скорость ротора становится синхронной. Но движе­ние ротора не прекращается, так как на него действует тормозной избыточный момент, определяемый избытком мощности DРторм = Pf - ро - Ротор, ускоряясь, начинает движение в обратную сторону. Его скорость максимальна в точке п. После точки п относительная скорость начинает уменьшаться и становится равной нулю в точке Z. Эта точка определяется из равенства площадок fnefgt \\ fxnz . Из-за потерь колебания ротора будут затухать около нового положения равновесия послеаварийного режима - точки п.

Пример 10.1. В электропередаче, показанной на рисунке, в точке К происходит внезапное двухфазное КЗ на землю. В момент времени t1, оно перехо­дит в трехфазное, а затем в момент времени t2 поврежденная линия отключается.

Параметры исходного режима и параметры электропередачи при S d = 220 MBA и базисном напряжении на ступени 220 кВ U d = 209 кВ следующие:

Po =1, Qo = 0.2, Uс = 1, x " d = xG 2 = 0.295, хт, = 0.138, хТ2 = 0.122, хL = 0.244 (для двух цепей), х L 0 = 0.732, 7; Tj*6 = 8.18с.

https://pandia.ru/text/79/122/images/image013_28.gif" width="375 height=25" height="25">.

Величину и фазу переходной ЭДС за переходным сопротивлением найдем по формуле

https://pandia.ru/text/79/122/images/image015_22.gif" align="left" width="145" height="41 src=">

Амплитуду характеристики мощности для нормального режима Р m 1 найдем из выражения

Амплитуду характеристики мощности аварийного режима определим сле-I дующим образом:

где xd S 2 - взаимное сопротивление схемы в аварийном режиме, которое вычис­ляется так:

https://pandia.ru/text/79/122/images/image022_16.gif" align="left" width="111" height="47 src=">

Подставляя в формулы числовые значения, получим

Послеаварийный режим определяется отключением одной цепи линий элект­ропередачи, после чего сопротивление xl удвоится и суммарное сопротивление электропередачи составит

Х’dS3= 0.95+ 0.138+ 0.488+ 0.122 = 1.04.

Амплитуда характеристики мощности послеаварийного режима

Характеристики мощности приведены на рисунке. Построим площади ускорения и торможения. Найдем, что при двухфазном коротком замыкании мощность, отдаваемая генератору, уменьшается до величи­ны, соответствующей точке 2 на характеристике III. Под действием избыточного момента DМо = DPо ротор генератора ускоряется.

В момент времени t 1 (соответствует углу d,) при трехфазном коротком замы­кании отдаваемая генератором мощность падает до нуля. Под действием полного избыточного момента, равного моменту турбины, ротор продолжает ускоряться.

2) после отключения поврежден­ной линии мощность, отдаваемая генератором, повышается до значения, опреде­ляемого точкой 7 на характеристике послеаварийного режима П. Здесь электрическая мощность, отдаваемая генератором, больше мощности, развивае­мой турбиной, генератор тормозится, но угол d продолжает увеличиваться в соответствии с накопленной ротором энергией до точки 8 (угол dmах), где кинети­ческая энергия, накопленная ротором в процессе ускорения, полностью израсхо­дуется при его торможении. Этому соответствует равенство площадей ускорения и торможения (FУCK = FTOРM). Затем угол d начнет уменьшаться. После нескольких циклов качаний ротора установится новый режим, определяемый точкой 10 на характеристике послеаварийного режима II.

Отношение возможной площади торможения к площади ус­корения -1 дает коэффициент запаса устойчивости.

10.3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ УГОЛ ОТКЛЮЧЕНИЯ КЗ

Из рис. 10.3 можно найти предельное значение угла отключе­ния КЗ, при котором устойчивая работа системы сохраняется. Оно определяется равенством площади ускорения fabcd и возможной площади торможения fdefm . Приравнивая к нулю сумму этих пло­щадей, получаем аналитическое выражение для предельного угла отключения КЗ:

Раскрывая определенные интегралы, запишем

Ро(dткл. пр - d0) + Pmax2(COSdOTKJ1пр - COSd0) + Ро(dкр - dоткл. пр) + Pmах(COSdкр - COSdOTKJ1пр) = 0.

(все углы выражены в радианах).

Однако для практических целей знания угла dоткл пр недостаточно. При выборе выключателей и расчете релейной защиты необходимо знать не угол, а период времени, в течение которого ротор успевает достигнуть этого угла, т. е. предельно допустимое время отключения КЗ. Это время может быть определено решением уравнения движения ротора генератора известными методами ре­шения дифференциальных уравнений (например, методом Рунге -
Кутта 4-го порядка или методами последовательных интервалов).

10.4. АНАЛИЗ ТРЕХФАЗНОГО КЗ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

При трехфазном КЗ в точке К1 взаимное сопротивление схемы становится бесконечно большим, так как сопротивление шунта КЗ

При этом характеристика мощности аварийного режима совпадает с осью абсцисс (рис. 10.4). Ротор генератора начинает свое относительное движение под действием избыточного момента, равного механическому моменту турбины. Дифференциальное уравнение движения ротора при этом принимает вид

(10.4) Это уравнение линейно, и нетрудно получить его решение. Пе­репишем (10.4) в следующем виде:

Постоянная интегрирования с2 определяется из условий d = d0, с2 = d0 при t = 0. Окончательно зависимость угла от времени будет иметь вид

Возрастание угла происходит по квадратической параболе, а время, отвечающее какому-либо значению угла d, находится из уравнения (10.6):

https://pandia.ru/text/79/122/images/image043_10.gif" align="left" width="273" height="47 src=">

Предельное время отключения при трехфазном КЗ определится из выражения (10.7):

Когда трехфазное КЗ происходит не в начале линии (а, напри­мер, в ее середине), то условия нахождения взаимного сопротивления изменяются. Оно уже имеет конечное значение и определяется из схемы, показанной на рис. 10.5. Преобразовав треугольник из сопротивлений линий х L 1 , xL 2 /2 в звезду х1, х2, х3, получим схему связи генератора с системой, подобную схеме для несимметричного КЗ, изображенную на рис. 10.2, б.

Гис. 10.5. Схема замещения

и ее преобразование при

трехфазном КЗ в середине линии

Динамический переход в этом случае аналогичен переходу при I несимметричном КЗ.

10.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РОТОРА ГЕНЕРАТОРА. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Уравнение движения ротора нелинейно и не может быть решено в общем виде. Исключением является полный сброс мощности в аварийном режиме, т. е. Р ав. max = 0, рассмотренный выше. Уравнеие (9.7) решается методами численного интегрирования . Одним из них является метод последовательных интервалов, иллюстрирующий физическую картину протекания процесса. В соответствии с этим методом весь процесс качания ротора генератора разбивается на ряд интервалов времени D t и для каждого из: них последовательно вычисляется приращение угла Dd. В момент КЗ отдаваемая генератором мощность падает и возникает некото­рый избыток мощности DР(о). Для малого интервала D t можно допустить, что избыток мощности в течение этого интервала остается неизменным. Интегрируя выражение (9.7), получаем в конце пер­вого интервала

https://pandia.ru/text/79/122/images/image047_9.gif" align="left" width="115" height="41 src=">

Относительная скорость ротора в момент КЗ равна нулю (с1 = 0), и поэтому относительная скорость ротора в конце первого интерва­ла равна DV(1). При t = 0 угол d = dо, поэтому с2 = d0. Ускорение а0 может быть вычислено из (9.4): а(1) = DР(о) / Т j отсюда следует

Здесь угол и время представлены в радианах. В практических рас­четах угол выражают в градусах, а время - в секундах:

, (10.8)

t(с)=t(рад)/w

Используя (10.8) и (10.9) и учитывая, что Tj(с) = Тj(рад)/w0 , полу­чаем

https://pandia.ru/text/79/122/images/image051_8.gif" width="92 height=49" height="49"> (10.10)

Ускорение, создаваемое во втором интервале, пропорциональ­но избытку мощности в конце первого интервала . При вычис­лении приращения угла в течение второго интервала необходимо учесть то, что кроме действующего в этом интервале ускорения a(1) ротор уже имеет в начале интервала скорость V(1):

(10.11)

где DР(1) = p (0) - Pmax sin (d1).

Значение скорости V 1 - неточное, так как ускорение a(0) не яв­ляется постоянным в течение первого интервала времени. Более точное значение скорости можно получить, если предположить, что на первом интервале действует среднее ускорение:

a(0)ср = (a(0) + a(1))/2.

Тогда относительная скорость будет выражена формулой

V(1)=a(0)cpDf =https://pandia.ru/text/79/122/images/image055.jpg" align="left" width="213 height=167" height="167">174">

или Dd(2) =Dd(i) + К D .Р(1).. Прира­щение угла на последующих ин-тервалах рассчитывается анало­гично: Dd(n) =Dd(n - i) + К D .Р(n - 1) .. Ес­ли в начале некоторого K-интервала происходит отключение КЗ, то избыток мощности внезап­но изменяется от некоторой ве­личины D .Р’(K - 1) .. (рис. 10.6) до D .Р’’(K - 1) . , что соответствует пере ходу с характеристики 1 на 2. Приращение угла на первом интервале после отключения КЗ определится как

Расчет методом последовательных интервалов ведется до тех пор, пока угол d не начнет уменьшаться либо не будет ясно, что угол неограниченно растет, т. е. устойчивость машины нарушается.

10.6. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Расчет динамической устойчивости сложных систем можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Расчет нормального (предшествующего КЗ) режима электрической системы. Результатом расчета являются значения ЭДС электростанций (Е’ j ) и углы между ними.

2. Составление схем замещения обратной и нулевой последова­тельностей и определение их результирующих сопротивлений относительно точки КЗ и точки нулевого потенциала схемы. Вы­числение аварийных шунтирующих сопротивлений, соответст­вующих рассматриваемым КЗ.

3. Расчет собственных и взаимных проводимостей для всех станций системы в аварийном и послеаварийном режимах.

4. Расчет угловых перемещений роторов машин с помощью ме­тода последовательных интервалов. Определение значений отдаваемых машинами мощностей в начале первого интервала:

5. Определение избытков мощности в начале первого интервала:

где рш, pio и т. д. - мощность машин в момент, предшеству­ющий КЗ.

6. Вычисление угловых перемещений роторов генераторов в
течение первого интервала Dt

https://pandia.ru/text/79/122/images/image063_7.gif" width="179" height="25">,

Здесь коэффициенты К рассчитываются в соответствии с уравне­нием (10.10).

7. Определение новых значений углов в конце первого - начале
второго интервала:

https://pandia.ru/text/79/122/images/image066_6.gif" align="left" width="140" height="25 src=">

где d1(n-1), d2(n-1) значения углов в конце предшествующего интервала.

8. Нахождение новых значений взаимных углов расхождения
роторов:

Зная эти значения, можно перейти к расчету следующего ин­тервала, т. е. вычислить мощность в начале этого интервала, а затем повторить расчет, начиная с п. 5.

В момент отключения повреждения все собственные и взаим­ные проводимости ветвей меняются. Угловые перемещения рото­ров в первом интервале времени после момента отключения подсчитываются для каждой машины по выражению (10.12). В по­следующих интервалах расчет ведется по алгоритму, приведенно­му выше.

Расчет динамической устойчивости сложных систем выполня­ется для определенного времени отключения КЗ и продолжается не только до момента отключения КЗ, а до тех пор, пока не будет ус-

тановлен факт нарушения устой­чивости или ее сохранения. Об этом судят по характеру измене­ния относительных углов. Если хотя бы один угол неограниченно растет (например, угол d12 на рис. 10.7), то система считается динамически неустойчивой. Если все взаимные углы имеют тен­денцию к затуханию около ка­ких-либо новых значений, то

система устойчива. Если структура рассчитываемой системы тако­ва, что в ней есть какая-либо станция, мощность которой превос­ходит мощности остальных станций, то относительные углы отсчитываются относительно этой станции.

Если по характеру изменения относительных углов установле­но нарушение устойчивости при принятом в начале расчета време­ни отключения КЗ, то для определения предельного времени КЗ следует повторить расчет, уменьшая время отключения КЗ до тех пор, пока очередное его значение не даст устойчивого решения.

10.7. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИГАТЕЛЕЙ НАГРУЗКИ

Двигатели нагрузки при больших возмущениях оказывают влияние не только на режим ее работы, но и на функционирование системы, питающей нагрузку. Можно выделить два типа возмуще­ний, характерных для систем электроснабжения:

1. Снижение напряжения на зажимах двигателя, вызванное:

Коротким замыканием в распределительной сети;

Кратковременным прекращением питания двигателей;

Пуском двигателей.

Рис. 10.8. Изменение напряжения на зажимах двигателя (а) и механического момента (б)

2. Изменение механического момента на валу двигателя, свя­занное с изменением режима работы приводимого механизма.

Предположим также, что это изменение происходит скачком в моменты времени t0 и t 1 так, как это показано на рис. 10.8, б. В обоих случаях в момент времени t 1 возмущение прекращается, а механический момент или напряжение восстанавливают свои прежние значения.

10.7.1. Динамическая устойчивость асинхронного двигателя

Снижение напряжения на зажимах двигателя или рост механи­ческого момента на его валу вызывает появление избыточного тормозящего момента DМ (рис. 10.9). Как при снижении напряже­ния, так и при увеличении механического момента (последний превосходит максимальное значение электромагнитного момента Ммех > Mmax) скольжение двигателя будет увеличиваться и он опро­кинется. Чтобы этого не произошло, надо своевременно восстано­вить напряжение или уменьшить механический момент. Если прежнее значение напряжения или момента будет восстановлено при скольжении S 1 (рис. 10.9), то на вал двигателя будет действо­вать ускоряющий избыточный момент DМ1, который вернет двига­тель в устойчивый режим работы со скольжением S0.

Если восстановление напряжения или момента произойдет при скольжении S 3 , то избыточный момент DM2 будет иметь тормозной характер и двигатель опрокинется. Как же определить время, в те­чение которого будет достигнуто то или иное значение скольжения?

Рис. 10.9. К расчету динамической устойчивости асинхронного двигателя:

а - снижение напряжения; б - увеличение механического момента

Для этого необходимо решить уравнение движения ротора двигателя.

При возникновении избыточного момента на валу двигателя ускорение ротора прямо пропорционально избыточному моменту и обратно пропорционально моменту инерции и может быть записа­но в виде

I https://pandia.ru/text/79/122/images/image073_6.gif" align="left" width="215" height="47 src="> (10,15)

где Т j = Jw2 1ном / Рном, а Рном - номинальная мощность двигателя.

Уравнение (10.15) описывает движение ротора двигателя при больших возмущениях и называ­ется уравнением движе­ния ротора асинхрон­ного двигателя. Это уравнение нелинейно, его реше­ние может быть получено с помощью любого из методов численного интегрирования. Наиболее просто это решение получается, если разбить ось абсцисс функции D M (S ) на ряд равных интервалов DS (рис. 10.10). Тогда уравнение движения на любом интервале будет иметь вид

и время от момента нарушения режима до конца любого п- го ин­тервала определится как

d и ЭДС Е". Характери­стика мощности двигателя без учета второй гармоники имеет си­нусоидальный характер (кривая 1 на рис. 10.11). При уменьшении напряжения на зажимах двигателя рабочая точка перемещается на характеристику мощности, соответствующую новому режиму (точка b на характеристике 2, рис. 10.11, а). При этом на валу дви­гатель - приводимый механизм возникает тормозной, избыточный момент DМторм, угол d начинает увеличиваться, а тормозной момент уменьшается и становится равным нулю в точке с. Кинетиче­ская энергия, запасенная ротором двигателя при его движении от точки b к точке с (величина ее пропорциональна площади abc ), не позволит ротору остановиться в точке нового устойчивого равно­весия с. Угол d будет увеличиваться до тех пор, пока площадь cde не станет равной площади abc . Точка d соответствует максималь­ному углу отклонения оси ротора от своего первоначального положения (d0).

Рис. 10.11. К анализу динамической устойчивости синхронного двигателя: а - снижение напряжения (характеристики момента UHOM (кривая /) и мощно­сти при пониженных напряжениях (кривые 2, 3)); d - наброс механического момента

В точке d скорость вращения ротора становится равной син­хронной, но, поскольку на вал двигателя действует избыточный ускоряющий момент DМуск, ротор начинает двигаться в сторону точки с. Около нее возникают затухающие колебания, аналогичные таковым при внезапном отключении линии (см. рис. 10.1, г).

Рассмотренное снижение напряжения (ему соответствует ха­рактеристика 2) не нарушает устойчивости двигателя, и он может нормально работать при пониженном напряжении (с меньшим запасом статической устойчивости). Если характеристика мощно­сти располагается так, что максимальный угол отклонения ротора превышает критическое значение dкр3 (характеристика 3), на валу двигателя возникает тормозной, избыточный момент и его устой­чивость нарушается. В этом случае для сохранения устойчивости необходимо восстановление напряжения Uо на зажимах двигателя в какой-либо момент времени, соответствующий углу dВОССТ.

При этом происходит переход рабочей точки на характеристи­ку 1, новая площадь ускорения mgh будет достаточной для пре­кращения торможения двигателя и возвращения его в устойчивое рабочее состояние. Предельное значение угла dВОССТ, при котором восстановление прежнего значения напряжения обеспечит сохра­нение динамической устойчивости, определится из равенства пло­щадей Fab ’ c " + Fnmf = F c " d " n + Fmgh , или

https://pandia.ru/text/79/122/images/image079_5.gif" align="left" width="364" height="48 src=">

При набросе механического момента двигателя до значения P/0 (рис. 10.11, б) на валу возникает тормозной избыточный момент DМторм, вызывающий относительное движение ротора в сторону увеличения угла d. После того как угол ротора превысит значение d1 на валу двигателя появляется ускоряющий избыточный момент. Относительная скорость ротора, максимальная в точке с, становит­ся равной нулю в точке d . Двигатель начинает движение в обрат­ную сторону. В результате затухающих колебаний около точки с двигатель переходит в новый режим работы с углом d1.

При большем набросе механического момента (до величины p 0 " ) динамическая устойчивость в отличие от предыдущего случая не сохранится. При любом значении угла d избыточный момент будет иметь тормозной характер и двигатель выпадет из синхро­низма. В этом случае сохранение устойчивости возможно, если произойдет восстановление механического момента до его преж­него значения в какой-то точке f . На валу двигателя возникает ус­коряющий избыточный момент, пропорциональный отрезку fg . Устойчивость двигателя сохранится, если площадь торможения amkf будет меньше или, по крайней мере, равна предельно воз­можной площади ускорения fgh . В случае равенства этих площадей угол восстановления механического момента является предельным. Его значение может быть найдено из равенства

Famkf - Ffgh = 0 ИЛИ

Раскрыв интегралы и преобразовав полученное выражение, за­пишем

Время, в течение которого ротор двигателя достигнет угла dВосст. пр, определяется из зависимости d = f (t ), которая в свою оче­редь получается в результате решения уравнения движения ротора. При возникновении на валу двигателя избыточного момента его относительная скорость Dw будет определяться формулой d d / dt = d w = w 0 - w , где w - синхронная скорость.

Относительное значение Dw* найдем по формуле

Скольжение двигателя представим в виде

Ускорение ротора, соответствующее избыточному моменту DM, прямо пропорционально DM и обратно пропорционально по­стоянной инерции двигателя Т j .

(10.16)

Это уравнение называется уравнением движения ро­тора синхронного двигателя. Правая часть этого уравнения нелинейна, поэтому решение может быть получено с помощью какого-либо численного метода (в частности, метода последовательных интервалов). Результа­том решения является зависимость d=f (t ) (рис. 10.12). Определив графическим ме­тодом предельный угол восстановления dвосст..пр, находим соответствующее ему предельное время t восст. пр так, как это пока­зано на рис. 10.12.

Рис. 10.12. К определе­нию t восст. пр

Решение уравнения движения ротора двигапозволяет судить об устойчивости двигателя. Если зависимость d(t) име­ет нарастающий характер, то двигатель неустойчив. Если эта зави­симость отражает затухающие колебания, то двигатель устойчив.

10.8. ПУСК ДВИГАТЕЛЕЙ

Пуск двигателя - это процесс перехода двигателя и рабочих механизмов из неподвижного состояния (w = 0) в состояние вра­щения с нормальной скоростью (w = w0).

Процессы, протекающие при пуске синхронных и асинхронных двигателей, а также их схемы пуска очень похожи и отличаются лишь тем, что у синхронного двигателя на последней стадии пуска включается возбуждение. Пуск двигателей является нормальным переходным режимом который рассматривается с точки зрения обеспечения нормальной работы системы электроснабжения. При этом решаются такие задачи, как определение тока двигателей, на­пряжения на их зажимах при пуске, возможность группового пуска двигателей и т. п.

Во время пуска двигатель потребляет значительно большее ко­личество энергии, чем в нормальном режиме, что сопровождается увеличением пускового тока. Кратность пускового тока по отно­шению к номинальному достигает 5...8 для двигателей с короткозамкнутым ротором.

Условия пуска двигателей определяются механическим момен­том, который должен быть создан двигателем в начальный момент пуска.

Механические характеристики некоторых типов приводимых во вращение механизмов даны на рис. 10.13. Выделяют легкие, нормальные и тяжелые условия пуска.

Легкие условия возникают, когда начальный момент враще­ния двигателя Ммехнач = % Мном, где Мном - номинальный момент двигателя.

Вентилятор" href="/text/category/ventilyator/" rel="bookmark">вентиляторы

Нормальные условия возникают при Ммехнач = (50...75) % Мном.

Тяжелые условия пуска - это такие условия, при которых

Ммех. нач = 100 % и более МНОМ.

190" height="35">

Рис. 10.14. Схемы пуска двигателей: а - прямого; б - реакторного

Прямой пуск произво­дится по схеме, показанной на рис. 10.14, а. Двигатель включа­ется на полное напряжение сети выключателем. Это наиболее простая схема, применяемая для пуска двигателей малой мощности.

Реакторный пуск производится по схеме, показанной на рис. 10.14, б. В начале пуска шунтирующий выключатель В2 от­ключен. Двигатель подключается к сети через реактор, который ограничивает пусковой ток двигателя, снижая напряжение на его зажимах. По мере разгона двигателя потребляемый им ток снижа­ется, и при приближении скорости вращения двигателя к номи­нальной включается шунтирующий выключатель В2, выклю­чающий пусковой реактор. Сопротивление реактора определяется следующим образом:

https://pandia.ru/text/79/122/images/image090_4.gif" align="left" width="533" height="67">

Пусковой ток при этом

В выражениях (10.предполага­ется, что двигатель в режиме пуска может быть представлен только реактивным сопротивлени­ем. Это не вносит в расчет существенной по­грешности, так как активное сопротивление двигателя, обратно пропорциональное скольжению, в первый момент пуска (при S = 100 %) незначительно. Не­достатком реакторного пуска является необходимость в дополни­тельном оборудовании (реакторе и выключателе). Кроме того, увеличивается время пуска двигателя, снижается его пусковой электромагнитный момент. Достоинство реакторного пуска улучшение режима напряжений в питающей сети, смягченные тре­бования к ее оборудованию.

Пуск синхронных двигателей имеет свои особенности. Син­хронный двигатель подключается к сети невозбужденным. Его об­мотка возбуждения короткозамкнута или закорачивается на сопротивление rпуск = (5r f , где rf, - сопротивление обмотки возбуждения. Пусковой ток двигателя определится как

где Uм - напряжение на зажимах двигателя; x " d - сверхпереходное сопротивление двигателя. Как только скорость вращения ротора станет близкой к синхронной, ему подается возбуждение и он втягивается в синхронизм.

Расчет режима пуска производится с целью определения вре­мени пуска, допустимости нагрева обмоток, характера изменения напряжений в питающей сети. Как для асинхронных, так и для синхронных двигателей расчет режима пуска производится реше­нием уравнений движения ротора двигателя. Начальное значение скольжения при этом равно единице (Sпуск =100 %). Разбивая ин­тервал времени пуска на малые интервалы, находят зависимость

S (t ), по которой определяют время пуска (при S = So). Зная время существования токовых перегрузок и их величины, вычисляют на­грев двигателя. Зависимость U (t ) (необходимая, например, для оценки устойчивости работающих рядом двигателей) определится, если на каждом интервале времени рассчитывать режим напряже­ния в питающей сети и на зажимах двигателя.

Пример 10.2. От шин 6 кВ понижающей подстанции питаются два одина­ковых асинхронных двигателя Ml и М2, каждый из которых имеет параметры:

Рном = 2000 кВт, UHOM = 6 кВ, cosj = 0.83, h = 92 %, Iпуск = 5.2.

Остальные элементы схемы характеризуются следующими данными: Трансформатор Т-1: SHOM = 15 MBA, 115.5/37 кВ, UK = 10.5 %.

Трансформатор Т-2: SHOM = 7.5 MBA, 36.8/6.6 кВ, UK = 7.5 %.

Линия L: l = 15 км, x0 = 0.4 Ом/км.

Система S - источник бесконечной мощности с неизменным напряжени­ем 107кВ.

Требуется сравнить условия пуска двигателей для случаев, когда:

а) оба двигателя пускаются одновременно;

б) пускается один двигатель, в то время как другой работает при номиналь­
ном напряжении с нагрузкой 0.67Sном при cos j = 0.8.

Сравнение провести по значениям периодических слагающих пускового тока и пускового момента, имея в виду, что пусковой момент при номинальном напря­жении составляет 70 % номинального момента двигателя.

Решение. Примем Sб = 7.5 МВА и Uб1 = 6 кВ. Тогда базисные напряжения на других ступенях определим как

Относительные реактивности элементов схемы замещения, приведенной на рис. 2.21, б, при этом вычислим так:

https://pandia.ru/text/79/122/images/image101_3.gif" align="left" width="173" height="49 src=">

где номинальная мощность двигателя

Напряжение системы в относительных единицах https://pandia.ru/text/79/122/images/image104_3.gif" align="left" width="252" height="41">

Пусковой ток в каждом двигателе при базисных условиях

https://pandia.ru/text/79/122/images/image106_3.gif" width="152" height="41 src=">

Остаточное напряжение на выводах двигателя при его пуске U = 1.1*0.55 = 0.605, соответственно момент двигателя при пуске Mпуск = 0.6052 * 0.7MНОМ = 0.256MНОМ.

Случай в. Найдем вначале ЭДС двигателя, который работал под нагрузкой. Его рабочий ток при базисных условиях составляет

Следовательно, искомая ЭДС будет равна

https://pandia.ru/text/79/122/images/image109_3.gif" align="left" width="221" height="41">

Таким образом, пусковой ток двигателя при базисных условиях

при номинальных условиях

Остаточное напряжение UOCT =1.44*0.55 = 0.79 и развиваемый двигателем момент при пуске Мпуск = 0.792 * 0.7МН = 0.44МН.

Как видно, по сравнению с условиями, рассмотренными для случая «а», здесь пусковой ток больше в 0.44 / 0.256 = 1.72 раза.

10.9. САМОЗАПУСК ДВИГАТЕЛЕЙ

Самозапуск - это процесс восстановления нормального режима работы двигателей после кратковременного отключения источника питания. Задача самозапуска заключается в том, чтобы не допус­тить массового отключения электродвигателей. Самозапуск отли­чается от пуска тем, что:

Одновременно пускается целая группа двигателей;

В момент восстановления питания какая-то часть или все дви­гатели вращаются с некоторой скоростью;

Самозапуск происходит под нагрузкой.

По условиям самозапуска механизмы делятся на две группы:

1) механизмы, имеющие постоянный момент сопротивления и при кратковременном прекращении питания быстро теряющиескорость (шаровые мельницы, транспортеры, прокатные станы, подъемные краны и т. п.);

2) механизмы, имеющие вентиляторные характеристики мо­мента (центробежные насосы, вентиляторы, дымососы, центрифу­ги и др.). Самозапуск этой группы проходит легче, чем механизмов первой группы, так как момент сопротивления механизмов снижа­ется при уменьшении скорости.

Для обеспечения успешного самозапуска определяют суммар­ную мощность электродвигателей, которые могут быть запущены после перерыва питания. В соответствии с полученным значением выделяются те двигатели, отключение которых недопустимо по условиям технологического процесса или правилам техники безо­пасности. Суммарная не отключаемая мощность электродвигателей определяется при условии, что остаточное напряжение в режиме самозапуска обеспечивает вращающий момент, превышающий момент механизма.

Расчет самозапуска предполагает решение нескольких задач:

1. Рассчитывается момент вращения двигателей при понижен­ном напряжении и проверяется его превышение над моментами механизмов.

2. Устанавливается температура дополнительного нагрева двигателей из-за увеличения времени разгона.

Скольжение двигателей к моменту самозапуска может быть определено численным интегрированием уравнения движения ротора двигателя. Рассматривая самозапуск асинхронных двигателей, предположим, что питание двигателей осуществляется по наиболее характерной схеме, показанной на рис. 10.16, а.

Напряжение на зажимах двигателей при самозапуске

(10.21)

где, причем ZM - сопротивление эквивалентного

двигателя, замедляющего все п подключенных двигателей; х вн = xc + xt + xL - внешнее сопротивление.

Сопротивление двигателя в момент самозапуска:

Рис. 10.16. Схема питания нагрузки: а - принципиальная схема; б - схема замещения

где SC3 - суммарная мощность двигателей, самозапуск которых бу­дет успешным; UHOM - номинальное напряжение двигателей. Подставляя (10.22) в (10.21), найдем мощность SC 3 :

(10.23)

Мощность самозапуска связана с номинальной мощностью следующим образом (при КПД двигателей, равном 1):

где К - кратность пускового тока. Подставляя (10.24) в (10.23), по­лучаем выражение для мощности, которую можно назвать не от­ключаемой мощностью двигателей при самозапуске:

https://pandia.ru/text/79/122/images/image120_0.gif" align="left" width="180" height="27">

Для механизмов с характеристиками вентиляторного типа

где МMmin - минимальный момент вращения двигателя, который часто принимают равным пусковому; Мм mах - максимальный мо­мент вращения двигателя.

Самозапуск синхронных двигателей обладает рядом особенно­стей по сравнению с асинхронными. Если после кратковременного перерыва питания двигатель не выпал из синхронизма или не был отключен, то происходит самозапуск. Если двигатель выпадает из синхронизма и к моменту восстановления напряжения работает как асинхронный с определенным скольжением, то процесс его самозапуска нужно рассматривать как пуск асинхронного двигателя, но осуществляемый от достигнутого скольжения. При этом возбужденный двигатель включается на шины нагрузки без дополнительных сопротивлений в цепи статора.

Задачами расчета самозапуска являются:

1) проверка влияния самозапуска на режим работы потребителей, находящихся в электрической близости;

2) расчет остаточного напряжения на зажимах двигателей;

3) расчет момента двигателя;

4) определение времени пуска и перегрева двигателя.

Во время перерыва питания напряжение на зажимах двигателя определяется его ЭДС, которая уменьшается по мере выбега. При уменьшении скорости ротора на 20 % напряжение двигателя с форсировкой не превышает номинального, а без форсировки снижается до 60...70 % номинального.

Допустимое напряжение на шинах нагрузки во время самозапуска определяется следующими требованиями:

1. При совместном питании двигателей и освещения:

При частых и длительных пусках (U > 0.9);

При редких и кратковременных пусках и самозапусках
(U> 0.8...0.85).

2. При раздельном питании двигателей и освещения
(U>0.7...0.8).

3. При люминесцентном освещении (U> 0.9).

4. При питании двигателей через блок-трансформаторы напря­жение ограничивается минимальной величиной электромагнитногомомента.

В тех случаях, когда самозапуск неосуществим, можно приме­нять автоматическую ресинхронизацию двигателя. Вхождение в синхронизм обеспечивается действием форсировки возбуждения, повышающей максимум синхронного момента.

10.10. АВТОМАТИЧЕСКОЕ ПОВТОРНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ

И АВТОМАТИЧЕСКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ РЕЗЕРВНОГО ПИТАНИЯ

Короткие замыкания, возникающие в различных точках элек­трической системы, могут быть преходящими, т. е. исчезать через какой-то небольшой промежуток времени. В этом случае эффек­тивно применение автоматического повторного включения (АПВ) того элемента, который отключился защитой из-за КЗ. АПВ назы­вают трехфазным, если отключаются и вновь включаются все три фазы поврежденного элемента, или однофазным (пофазным) (ОАПВ), если отключаются только одна или две поврежденные фазы. АПВ считается успешным, если за время отключения корот­кое замыкание исчезает и после повторного включения может вос­становиться нормальная работа, и неуспешным, если повторное включение производится на сохранившееся КЗ. Существуют сис­темы АПВ однократного, двухкратного и многократного действия, обеспечивающие соответственно одно, два или несколько повтор­ных включений.

Интервал времени между моментом отключения КЗ и повтор­ным включением называется паузой АПВ. В течение паузы проис­ходит деионизация среды в месте КЗ и выключатель возвращается в исходное состояние. В системах электроснабжения (сети до 35 кВ) пауза АПВ принимается в пределах 0.3...0.5 с. При опреде­лении этих значений учитывалось, что время деионизации в сетях 6...10 кВ, например, составляет 0.07...0.09 с, а собственное время включения выключателя имеет порядок 0.25...0.3 с.

АПВ на воздушных линиях позволяет восстановить электро­снабжение в 60...90 % всех аварийных отключений. При установке систем АПВ на трансформаторах важно предусмотреть блокиров­ку, запрещающую работу АПВ, если отключение произошло от действия защиты, реагирующей на внутренние неисправности трансформатора (например, газовой). Для ответственных двигате-лей после их аварийного отключения пре­дусматривается АПВ, обеспечивающее их самозапуск.

133" height="36">

Рис. 10.17. Схема пита­ния с устройством АВР

10.11. МЕТОДИЧЕСКИЕ И НОРМАТИВНЫЕ УКАЗАНИЯ

К РАСЧЕТУ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Целью расчетов динамической устойчивости является определение характера динамического перехода системы от одного режима к другому. Если при этом ни одна станция не выпадает из синхронизма, то такой переход считается устойчивым.

Для определения динамической устойчивости принимаются расчетные возмущения, разделяемые на три группы.

Группа 1. Отключение элемента сети напряжением 500 кВ и ниже. Однофазное короткое замыкание при работе основной защиты с успешным и неуспешным ОАПВ.

Группа 2. Отключение любого элемента сети напряжением выше 500 кВ (для схемы связи атомной электростанции (АЭС) с энергосистемой выше 750 кВ). Однофазное КЗ на линии электро­передачи выше 500 кВ при работе основной защиты с неуспешным ОАПВ. Многофазные, короткие замыкания на линии электропере­дачи любого класса напряжения при работе основной защиты с успешным и неуспешным АПВ. Отключение генератора или блока генераторов, наибольших по мощности в данной ЭС.

Группа 3. Одновременное отключение двух цепей или двух ли­ний, идущих по одной трассе более чем на половине длины более короткой линии. Возмущения групп 1 и 2 с отключением элемента сети или генератора (блока генераторов), которые из-за ремонта одного из выключателей приводят к отключению второго элемента сети, подключенного к этому же распределительному устройству. Однофазное КЗ на линии электропередачи или шинах любого класса напряжения при отказе одного из выключателей. Отключе­ние части генераторов электростанции, связанное с полным от­ключением одной секции (системы) шин суммарной мощностью до 50 % мощности электростанции или возникновение такого же или большего аварийного небаланса мощности по любым причинам.

Переток в сечении	Группы возмущений, при которых должна обеспечиваться динамическая устойчивость
при нормальной схеме	при ремонтной схеме
Нормальный Утяжеленный

При отключении линии высшего для данного сечения класса напряжения устойчивость может не сохраняться, если:

Предел статической устойчивости уменьшается более чем на 70 %;

Предел статической устойчивости по оставшимся связям не превышает утроенной расчетной амплитуды нерегулярных колеба­ний мощности в этом сечении.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Перечислите основные методы расчета динамической устойчивости.

2. В чем суть графического метода анализа динамической устойчивости?

3. Что такое предельный угол отключения КЗ?

4. Какие методы решения уравнения движения ротора генератора использу­
ются при анализе динамической устойчивости?

5. Приведите алгоритм расчета динамической устойчивости сложных систем.

6. Как оценивается динамическая устойчивость двигателей нагрузки?

7. Каковы особенности режима пуска двигателей?

8. Что такое самозапуск и групповой запуск двигателей?

Статическая устойчивость электроэнергетических систем..

Статическая устойчивость – это способность системы восстанавливать исходное или близкое к исходному состояние после его возмущения.

Динамическая устойчивость – это способность системы восстанавливать исходное или близкое к исходному состояние после большого возмущения.

Исходя из определения статической устойчивости системы можно заключить, что существует такой режим, при котором очень малое увеличение нагрузок вызывает нарушение его устойчивости. Такой режим называют предельным, а нагрузки системы - максимальными или предельными нагрузками по условиям статической устойчивости.

Электроэнергетическая система должна работать так, чтобы некоторые изменения (ухудшения) режима не приводили к нарушению устойчивости ее работы. Простейшая оценка ее запаса устойчивости основывается на сопоставлении показателей проверяемого (исходного) режима и показателей, характеризующих режим, предельный по устойчивости.

Статическая устойчивость работы ЭЭС в послеаварийных режимах обеспечивается, как правило, за счет мероприятий, не требующих дополнительных капитальных вложений:

– кратковременного повышения напряжения на зажимах генераторов;

– быстрого снижения нагрузки электропередачи путем отключения части генераторов на электростанциях и т. п.

– Кроме того, существуют мероприятия, повышающие статическую устойчивость, но требующие некоторых капитальных вложений:

– применение быстродействующей системы возбуждения генераторов;

– использование синхронных компенсаторов на промежуточных подстанциях;

– использование статических тиристорных компенсаторов;

– продольная емкостная компенсация индуктивного сопротивления электропередачи с помощью статических конденсаторов и т. п.

– Практически все эти мероприятия позволяют повысить и динамическую устойчивость.

В эксплуатации, в тех случаях, когда это необходимо для предотвращения ограничения потребителей или потери гидроресурсов, допускается длительная работа электропередачи в нормальном режиме с запасом статической устойчивости, уменьшенным до 5-10 % в зависимости от роли электропередачи в энергосистеме и последствий возможного нарушения устойчивости.

Точный ответ на вопрос об устойчивости (или неустойчивости) системы можно получить, вычислив все корни характеристического уравнения. Однако процедура вычисления корней для уравнений высокого порядка относится к разря ду чрезвычайно трудоемких, поэтому разработан ряд специальных математических условий, позволяющих без вычисления корней характеристического уравнения определить их местоположение на комплексной плоскости и таким образом точно ответить на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы. Эти математические условия называются критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. Алгебраические критерии содержат группу условий (группу неравенств), составленных по определенным правилам из коэффициентов характеристического уравнения, при соблюдении которых имеет место устойчивость. Если же хотя бы одно из них нарушено, то имеет место неустойчивость. Для проведения анализа с помощью алгебраических критериев необходимо, очевидно, предварительно вычислить коэффициенты полинома в левой части характеристического уравнения. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейной однородной системы дифференциальных уравнений в виде алгебраических неравенств были установлены английским ученым Раусом и швейцарским математиком Гурвицем.

Алгебраические критерии устойчивости:

o Критерий Гурвица

Система неравенств Гурвица строится следующим образом. Из коэффициентов характеристического многочлена составляется квадратная матрица Гурвица. Необходимые и достаточные условия устойчивости заключаются в том, что все n диагональных миноров должны быть положительными.

o Критерий Рауса

Он более удобен для систем высокого порядка численно заданными коэффициентами характеристического уравнения. Из коэффициентов характеристического многочлена составляется таблица Рауса, каждый элемент которой вычисляется через четыре элемента двух предшествующих строк. Алгоритм вычисления хорошо виден из таблицы. Всего в таблице оказывается (n+1) строка. Требования устойчивости по Раусу формулируются так: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца были положительными.

Частотные критерии устойчивости.

В практике исследования устойчивости систем бывают слу чаи, когда трудно не только вычислить корни характеристического уравнения, но и получить само уравнение в виде характеристического полинома в левой части. В таких случаях

более удобными оказываются частотные критерии, которые,

как и алгебраические критерии, позволяют определить наличие или отсутствие корней характеристического уравнения в правой полуплоскости на плоскости корней. Частотные критерии базируются на известном в высшей математике принципе аргумента. .